В. М. ГАЛИЦКИЙ, Б. М. КАРНАКОВ, В И. КОГАН

ЗАДАЧИ

ПО КВАНТОВОЙ

МЕХАНИКЕ

Допущено Министерством высшего

и среднего специального образования СССР

в качестве учебного пособия

для студентов физических специальностей

высших учебных заведений

МОСКВА «НАУКА»

ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1981

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предусловие ...... », ... f ,.¦••• f . * .. 5

Принятые сокращения 7

Наиболее часто используемые обозначения , ¦ 7

Постоянные • 8

Задачи Решения

Глава I. Операторы в квантовой механике ..... 9 126

§ I. Основные понятия теории линейных операторов 9 ОЩ

§ 2. Собственные функции, собственные значения,сред-

значения,средние II <lJ°)

§ 3. Элементы теории представлений. Унитарные пре-

преобразования И O-sB)

Глава 2. Одномерное движение 16 '4^

§ 1. Стационарные состояния дискретного спектра . 16 A44)

§ 2. Состояния непрерывного спектра. Прохождение

через потенциальные барьеры 23 067)

Глава 3. Момент импульса ........... 26 181

ft 1. Общие свойства момента 26 A81)

§ 2. Момент ?,= I 29 A89)

§ 3. Сложение моментов 30 A94)

§ 4. Тензорный формализм в теории момента ... 34 B04)

Глава 4. Движение в центральном поле 36 208

§ 1. Системы с аксиальной симметрией 36 B08)

§ 2. Состояния дискретного спектра в центральных

полях . . -. 38 B20)

Г л а в а 5. Спнн 43 240

§ I. Формализм спина s = '/в 4^ B40)

§ 2- Пространственные состояния частицы со спином 47 B53)

Глава 6. Движение & магнитном поле . 49 258

§ 1. Бесспиновая заряженная частица в магнитном

поле 49 B58)

§ 2. Частица со слипом в магнитном поле .... 52 B71)

§ 3. Магнитное поле орбитальпых токов й спинового

магнитного момента 53 B75)

Глава 7. Изменение состояния во времени 53 B80)

§ I. Бесспиновые частицы 53 B80)

§ 2. Частицы со спином 58 C02)

1* 3

Глава 8. Теория возмущений. Внезапные н адиабатиче-

адиабатические воздействия

§ 1. Стационарная теория возмущений

§ 2. Нестационарная теория возмущений. Переходы

в непрерывном спектре

§ 3. Внезапные воздействия

§ 4. Адиабатическое приближение

Глава 9. Квазиклассическое приближение . . . . .

§ I. Квантование энергетических уровней. Квазиклас-

Квазиклассические волновые функции .

§ 2. Прохождение через потенциальные барьеры . .

Глава 10. Тождественность частиц ...*•>•¦«

§ I. Симметрия волновых функций «

§ % Осщшы формдлцзма вторичного ^квантовании . *

§ 3. Системы из большого числа N ^> 1 частиц . . *

Глава П. Атомы и молекулы

§ I. Стационарные состоянии атомов с одним и двумя

электронами

§ 2. Многозлектронные атомы • • «

§ 3. Основные представления теории молекул . . ¦

§ 4. Атомы и молекулы во внешних полях. Взаимо-

Взаимодействие атомов и молекул ...

§ 5. Нестационарные явления в атомах и молекулах .

Глава 12. Атомное ядро

§ 1. Основные представления о ядерных силах. ДеЙ-

трои

§ 2. Модель оболочек

Глава 13. Теория столкновений

§ 1. Борновское .приближение

§ 2. Фазовая теория рассеяшгн. Рассеяние медленных

частиц. Резонансные явления при рассеянии . .

§ 3. Рассеяние быстрых частиц (приближение эйко-

эйконала). Рассеяние частиц со спином .....

§ 4. Рассеяние составных частиц. Неупругие столк-

столкновения . , ,

Глава 14. Квантован теории излучения

§ 1. Излучение фотонов

§ 2. Рассеяние фотонов. Излучение фотонов при

столкновениях

Глава 15. Релятивистские волновые уравнения . • , •

§ I. Уравнение Клейна — Гордоиа * .

§ 2. Уравнение Дирака ¦>¦•

Глава 16. Законы сохранения

§ 1. Кинематика распадов и столкновений ....

§ 2. Интегралы движения

§ 3. Сохранение момента и четности в распадах н

столкновениях. Изотопические соотношения . . *

Дополнение ....

Литература . t

со

60

сз

66

67

69

69

72

74

74

76

79

80

80

83

85

88

92

94

94

97

100

100

103

105

107

109

109

111

112

112

116

118

118

120

122

647

648

308

(S09)

C25)

C35)

C40)

349

C49)

C73)

382

C82)

C91)

D00)

410

D10)

D28)

D39)

D49)

D66)

476

D76)

D87)

501

E01)

F12)

F35)

E42)

552

E52)

F66)

S85

E85)

F04)

622

F22)

F26)

F33)

ПРИНЯТЫЕ СОКРАЩЕНИЯ

у. Ш.—уравнение Шредппгера

в. ф. — волновая функция

с. ф. — собственная функция

с. з.—собственное значение

д. с. — дискретный спектр

с. п. и — система центра инерции

"— символ оператора (матрицы), однако над оператором умножения ои,

как правило, не ставится

=о —знак пропорциональности

~ — знак порядка величины

(tn I /I n)s

f%= \ *F*mfWndT-~ матричный элемент оператора f

НАИБОЛЕЕ ЧАСТО ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ

ОБОЗНАЧЕНИЯ

Смысл используемых обозначений поясняется либо в условии, либо в

решении каждой задачи. Однако имеется ряд величии, встречающихся во мно-

многих задачах, для которых мы старались придерживаться стандартных обозна-

обозначений. Обозначения таких величин ео всех случаях, когда это не может

привести к недоразумениям, в тексте не поясняются.

?f (q) — при записи волновой функции, как правило, q обозначает со-

совокупность переменных используемого представления, a f—¦

собственные значения соответствующих физических величин

или квантовые числа рассматриваемого состояния

*^пЩ "" с- Ф- линейного осциллятора

е — заряд частицы *)

с^ — скорость света

И — гамильтониан

В — энергия

6, <Н/ — напряженности электрического и магнитного нолей

А ~ векторный потенциал

U — потенциальная энергия

V — оператор возмущения

d — днпольный момент

*) Но если речь идет о конкретной реальной частице (электроне, про*

тоне, атомном ядре и т. д.), то е обозначает элементарный заряд cfc

ж 4,80-К)-10 ед. СГСЭ (так что заряд электрона равен — е, протона -\-et

ядра Ze н т. д.).

°o — боровский радиус

б/ — фазовый сдвиг

6 — матрицы Паулн

w, W — вероятность перехода, вероятность перехода в единицу вре-

времени J

Z, Ze — заряд ядра

R — радиус потенциала

т, М — масса, магнитное квантовое число

|i — масса, магнитный момент

р, Р — импульс

к — волновой вектор

/1 — массовое число ядра

«о — частота

/, L, /, / — момент (орбитальный и полный)

s, S — спин

А- (г) — функция Бесселя

Нп {х} — полином Эрмнта

}';т F, ф) — шаровая функция

ПОСТОЯННЫЕ

Решение значительного числа задач по физике атома, молекулы и ядра

предполагает проведение численных расчстон для сравнения результата реше-

решения с экспериментальными данными (приводимыми в условиях задач). Для

удобства вычислений ниже приведены численные значения основных физиче-

физических величин *).

Постоянная Планка ft = 1,054-Ю#7 эрг-с

Элементарный заряд е = 4,80- Ю-10 ед. СГСЭ

Масса электрона те = 9,11-Ю-28 г

Скорость света с = 3,00-1010 см/с

Боровский радиус (ат. ед. длины) а0 = 0,53-10—в см

Атомная единица энергии mee4/ft2 = 4,36-Ю"#1 эрг = 27,2 эВ

Атомная единица частоты tntekfh3 = 4,I3-Iflie с#

Атомная единица напряженности электрического поля е/а<)=6.14-10й В/см

Постоянная тонкой структуры а = e2ftic = 1/I37

Масса протона тР = 1836те — 1,67-10#4 г

Разность масс нейтрона и протона mn — tnp & 2,5me

Энергия покоя электрона тес2 = 0,51 МэВ

Радиус ядра R ж 1,2-10~13 Ах'ъ см

1 эВ= 1,60-10-12эрг

*) Приведенные значения — приближенные; более точные значения см.

специальной литературе.

ЗАДАЧИ

Глава 1

ОПЕРАТОРЫ В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ

§ ]. Основные понятия теории линейных операторов

1.1. Рассмотреть следующие операторы (—°° <

а) отражения 7: №(i)eT(-j);

б) сдвига Та: ?„?(*)= Щх+ а)\

в) изменения масштаба Мс: МСЧ? (х) = V^ T (сх), с > 0;

г) комплексного сопряжения R: R4?{x)^ W{x).

Являются ли эти операторы линейными?

Найти вид операторов, которые по отношению к указанным

являются: транспонированными, комплексно сопряженными, эр-

эрмитово сопряженными, обратными.

1.2. Для указанных ниже операторов найти операторы, ко-

которые по отношению к ним являются транспонированными, ком-

комплексно сопряженными, эрмитово сопряженными:

а) id/dx, —оо < х < +со;

б) id/дг, г — радиальная переменная сферической системы

координат @=g: г < оо).

1.8. Для произвольного линейного оператора L') показать

следующее:

а) (?+)+ = ?;

б) операторы ?+? и СС+ являются эрмитовыми,

е) операторы ? + ?+ и i(L — ?+) эрмитовы.

1.4. Показать, что если оператор С эрмитов, то оператор

G = ЛСЛ+ также является эрмитовым.

1.5. Показать, что произвольный оператор F можно предста-

представить в виде F = A + iB, где А н В — эрмитовы операторы.

1.6. Показать, что если операторы А и В эрмитовы, то опера-

операторы АВ -f- ВЛ и i(AB — ВА) также эрмитовы.

') В дальнейшем все рассматриваемые операторы предполагаются линей-

линейными и термин «линейный» для нраткости опускается.

1.7. Оператор Р неэрмнтов. В каком случае оператор F2 яв-

является эрмитовым?

1.8. Показать, что при алгебраических действиях с коммута-

коммутаторами справедлив закон дистрибутивности, т. е. что коммута-

коммутатор суммы равен сумме коммутаторов: Г? А„ Y, В*1 = ?[А> Д*!1

Li к J 1, к

1.9. Даны три оператора: Л, В, С. Выразить коммутатор про-

произведения АВ н С через коммутаторы [Л, С] и [В, С].

1.10. Доказать тождество Якобн для коммутаторов операто-

операторов Л, В, С:

[А, [В, С]] + [В, [С, ЛЦ + [С, [Л, ВЦ = 0.

1.11. Могут ли две матрицы Р, Q конечного ранга N удовле-

удовлетворять коммутационному соотношению [Р, <3]=—?/?

1.12. Оператор Р вида P = F(f), где F(z) —некоторая функ-

функция переменной г, представимая в виде ряда F (г) = Л cnz",

можно понимать как оператор, равный F= J] cj".

п

Используя это определение, найти явный вид следующих

операторов:

а) ехрAя7); б) fo = exp(a-^)

'(оператор Т определен в 1.1). В связи с данной задачей см. так-

также 1.51.

1.13. Предполагая К малой величиной, найти разложение опе-

оператора (Л — KB)-1 по степеням I.

1.14. Доказать следующее соотношение:

еяве-а=в + [А, в] + -1 [л, [л", в]]+ ...

1.15. В общем случае линейный оператор С можно рассмат-

рассматривать как линейный интегральный оператор, т. е.

Ф (|) = lV (I) = \ L (I, %') У (%') <%,

где L{1,|')— ядро оператора С Ц — совокупность переменных

используемого представления).

Как ядра операторов ?*, С, ?+ связаны с ядром L(%,%') опе-

оператора С? Найти ядра операторов Т, Мс, Та, х == х, р ss —ihd/dx.

Операторы Т, Мс, Та определены в 1.1.

1.16. Ядро L(x,x') оператора С является функцией вида:

a) L=)(x + x-); 6) L=l(x-x-); e) L = fWg(x').

Какие ограничения на функции f{x) н g(x) вытекают нз эр-

митовостн оператора ??

1.17. Какой вид имеет ядро L(x,x') оператора С, если этот

оператор коммутирует с оператором:

а) координаты х е х; б) импульса р = —i

1.18. Показать, что оператор Р, коммутирующий с оператора-

операторами х и р (в одномерном случае), кратен единичному, т. е. F tm

== Fo = const.

§ 2. Собственные функции, собственные значения,

средние

1.19. В состоянии, описываемом волновой функцией вида

где pv,Xo,a—вещественные параметры, найти функцию распре,

деления по координатам частицы. Определить средние значений

и флуктуации координаты и импульса частицы.

1.20. Волновая функция состояния частицы имеет вид

<p(jc)—вещественная функция. Показать, что рс, — средний им-*

пульс частицы в рассматриваемом состоянии.

1.21. Показать, что среднее значение дипольиого момента

системы заряженных частиц в состоянии, характеризующемся

определенной четностью, равно нулю.

1.22. Показать, что средине значения эрмитовых операторов

?+t и LL+ (С — некоторый линейный оператор) в произвольном

состоянии неотрицательны.

1.23. Показать, что собственные значения оператора квад-

квадрата любой физической величины неотрицательны.

1.24. Эрмитов оператор / удовлетворяет соотношению /2 = с/,

где с — некоторое вещественное число. Каковы собственные зна-

значения такого оператора?

1.25. Найти собственные функции и собственные значения фи-

физической величины, представляющей линейную комбинацию од-

одноименных компонент импульса и координаты: / = ар -f- P^-

Убедиться в ортогональности полученных функций и нормиро-

нормировать их соответствующим образом. Рассмотреть предельные слу-

случаи: а-«•О; Р-+0.

1.26. Найти собственные значения и собственные функции

эрмитова оператора Р, ядро которого имеет вид F(x, x') =

— /М/*(*')¦ Какова кратность вырождения собственных зна-1

чений этого оператора?

1.27. Эрмитов оператор (матрица) / имеет N различных соб*

ственных значений. Показать, что оператор f линейно выра-

выражается через операторы T,f f~l. В качестве примера рас-

рассмотреть оператор отражения (инверсии) Т.

1.28. Эрмитов оператор f{k), обладающий дискретным спект"

ром собственных значений, зависит от некоторого параметра X

11

Доказать соотношение

д!„ (Я)

ах

в котором индекс п нумерует собственные значения, а усредне-

усреднение в правой части равенства проводится по состоянию

?„(>.;<?)•).

1.29. Эрмитовы операторы А, В, С удовлетворяют следующим

коммутационным соотношениям: [А, С\ =0, [В, С] =0,

[А, В] ф 0. Показать, что среди собственных значений опера-

оператора С обязательно есть вырожденные.

1.30. Коммутатор операторов А и В двух физических величин

имеет внд [А, В] =|С (С — эрмитов оператор). Доказать спра-

справедливость соотношения неопределенности

где все средние значения, входящие в приведенное выражение,

относятся к одному н тому же, произвольному состоянию си-

системы.

Рассмотреть, в частности, операторы х и р и найти для этого

случая явный вид волновых функций состояний частицы, в ко-

которых произведение неопределенностей принимает минимальное

значение.

1.31. В состоянии кваитовомехаиической системы, описывае-

описываемом волновой функцией Wa, физическая величина А имеет опре-

определенное значение. Имеет ли в этом состоянии определенное

значение также и величина В в случаях, если операторы А я В:

а) не коммутируют; б) коммутируют?

1.32. Показать, что операторы компонент радиуса-вектора г

и импульса р частицы аитикоммутируют с оператором отраже-

отражения Г, а операторы компонент момента L коммутируют с Т.

1.33. В состоянии, описываемом волновой функцией Тоь, фи-

физические величины А а В имеют определенные значения. Что

можно сказать о собственных значениях а, Ь этих величии, если

операторы А и В антнкоммутируют друг с другом? В качестве

иллюстрации полученного результата рассмотреть операторы

Ли Г.

1.34. Как известно, эрмитовы операторы (точнее, самосопря-

самосопряженные) обладают следующими свойствами: собственные значе-

значения таких операторов — вещественные числа; собственные функ-

функции, отвечающие различным собственным значениям, ортого-

•) В общем случае, когда спектр собственных значений /(Я) состоит нз

дискретной я непрерывной частей, утверждение задачи сохраняется для ди-

дискретной части спектра.

нальны и образуют полную систему. Если же линейный оператор

не является эрмитовым, то его собственные значения и соб-

собственные функции могут обладать самыми различными свой-

свойствами. Следующие инже примеры, в которых требуется найти

собственные значения н собственные функции указанных неэр-

неэрмитовых операторов и выяснить нх свойства, иллюстрируют эти

различные возможности:

a)x-d/dX;

+ d/dx-, »)d =

г)

1.35. Проекционным оператором P{fi), проектирующим на

состояния с определенным значением fi физической велнчнны f,

называют линейный оператор, действие которого на функций

Wfk состоит в следующем:

Показать, что оператор Р (/,•) обладает свойствами:

°) Р(/>) — эрмитов оператор; б) P"(fi)=~P(fi).

Можно также говорить о проекционных операторах P({f}),

проектирующих на состояния, в которых физическая величина f

имеет не одно определенное значение Д-, а принимает какое-либо

значение нз некоторого набора {/} = {f(i. /(l> ¦¦¦}. При этом со-

сохраняются указанные выше свойства проекционных операторов.

В частности, оператор Р = T—P(U) также является проекцион-

проекционным. На какие состояния проектирует этот оператор?

Отметим, что понятие проекционного оператора очевидным

образом может быть обобщено на случай, когда в роли fi вы-

выступает совокупность физических величин, составляющих часть

полного набора (или весь полный набор).

1.36. Какой физический смысл имеет среднее значение проек-

проекционного оператора P(Ji) в произвольном состоянии, описывае-

описываемом волновой функцией Т?

1.37. Найти оператор, проектирующий на состояния, в кото-

которых координата частицы удовлетворяет условию х ^ 0.

1.38. Найти проекционные операторы Р±, проектирующие на

четные Р+ н нечетные Р- относительно инверсии координат со-

состояния частицы.

1.39. Показать, что эрмитов оператор F, рассмотренный в

задаче 1.26, умножением на некоторую постоянную величинуе

может быть превращен в проекционный оператор: Р = ср. На

какое состояние проектирует оператор Р?

1-40. Эрмитов оператор / имеет N различных собственных

значений. Найти вид нроекционного оператора P{fi) на состоя-

состояния с заданным значением /,- величины /.

§ 3. Элементы теории представлении. Унитарные

преобразования

1.41. Написать нормированные соответствующим образом

собственные функции радиуса-вектора Wr, и импульса #V в г-

н в р-представлениях.

1.42. Найтн в импульсном представлении волновую функцию

состояния частицы, рассмотренного в 1.19.

1.43. По заданной волновой функции >F(jr, у, z) вычислить

вероятность нахождения частицы в интервалах значений z от z\

ДО Z2 И Ру — ОТ pi ДО р2.

1.44. Найти вид операторов отражения Т н сдвига Го в им-

импульсном представлении.

1.45. Показать, что при переходе от координатного представ-

представления к импульсному четность волновой функции относительно

ее (соответствующего) аргумента остается неизменной.

1.46. Как известно, произвольный линейный оператор в об-

общем случае является интегральным оператором. Установить со-

соотношение между L (х, х') и L (р, р') — ядрами одного и того же

оператора С в х- я р-представлениях.

1.47. Найтн вид операторов г'1 к г~2 в импульсном пред-

представлении. Проверить равенство г^ = г V '.

1-48. Даны два эрмитовых оператора Л и В. Указать связь

между собственными функциями оператора Л в В-представле-

нии и собственными функциями оператора В в Л-представлении.

В качестве иллюстрации полученного результата рассмотреть

операторы х и р.

1.49. Обозначим через 4?t='4'>,[ нормированные соответ-

соответствующим образом волновые функции полного набора К. Вы-

Выразить через матричные элементы fik = \ xFtf^?k dx произволь-

произвольного оператора f:

а) результат действия оператора / на функции Т,-;

б) результат действия оператора f на волновую функцию

произвольного состояния в Х-представлении.

Сравнить полученные результаты.

1.50. Каков вид проекционного оператора P(fi) на состоя-

состояние с определенным значением fi физической величины f в

f-представленин?

1.51. Какой смысл можно придать оператору F видз Р =

= /r(f), где F[z) — произвольная функция переменной z, / —

эрмитов оператор? Насколько существенно предположение об

эрмнтовости /? В качестве примера рассмотреть оператор

l/У— Д, где Д — лапласиан.

Показать, что если функция F(z) представнма в виде ряда

F (г) = Xi cnz". то оператор Р, введенный в этой задаче, сов-

п

падает с оператором Р из 1.12.

14

1.52. Найтн внд оператора F — F(f), где / — эрмитов опера-

оператор, F(z)—произвольная функция, в случае, когда оператор /

имеет N различных собственных значений. Рассмотреть, в

частности, случаи N = 2 и N = 3, причем в последнем

считать спектр собственных значений состоящим из вели-

величин 0, ±?о.

1.53. Найти явный вид оператора P = F(P), где F(z) — за-

заданная функция, Р — некоторый проекционный оператор.

1.54. Какие из операторов, рассмотренных в 1.1 и 1.2, яв-

являются унитарными?

1.55. Унитарный оператор удовлетворяет уравнению 02= О,

Найти явный вид этого оператора.

1.56. Оператор О — унитарный. В каком случае оператор

С = с?>, где с — некоторое число, также является унитарным

оператором?

1.57. Показать, что произведение DiD2 двух унитарных опе-

операторов является унитарным оператором.

1.58. Может ли унитарный оператор (матрица) являться од-

одновременно н эрмитовым? В качестве примера рассмотреть опе-

оператор инверсии Т.

1.59. Показать, что оператор вида О = exp(tf) является уни-

унитарным, если Р—эрмитов оператор.

1.60. Показать, что если А и В — коммутирующие друг с дру-

другом зрмнтовы операторы, то оператор

6-

является унитарным. Представить в указанном виде унитарный

оператор O = exp(if) (см. 1.59).

1.61. Показать, что при унитарных преобразованиях опера-

операторов Л' = ОЛО+ алгебраические соотношения между операто-

операторами вида

... =0

сохраняют свой внд, т. е. F (Л<) = 0.

1-62. Квадратные матрицы Л н Л' одного ранга связаны уни-

унитарным преобразованием Л' = СЛО+. Показать, что шпуры и

детерминанты этих матриц — одинаковые.

1.63. Чем примечателен детерминант унитарной матрицы?

Показать, что, используя преобразование унитарной матрицы

вида С = сО, .рассмотренного в 1.56, унитарную матрицу можно

сделать унимодулярной, т.«. <let О' = I.

1.64. Найти детерминант унитарной матрицы вида ?> =

"= exp (iP), где Р — эрмитова матрица.

IS

1.65. Сколько имеется независимых квадратных матриц ран-

ранга N, которые являются: а) эрмитовыми; б) унитарными? Ка-

Каково число унимодулярных унитарных матриц ранга N?

1.66. Переход от одного представления к другому можно

рассматривать как унитарное преобразование. Убедиться в этом

на примере перехода от ^-представления к р-представлеиию.

1.67. Найти закон преобразования операторов х и р при уни-

унитарных преобразованиях, осуществляемых операторами:

а) отражения Т; б) сдвига ?„; в) изменения масштаба Й„.

Операторы Т, Та, Л5С введены в 1.1.

Глава 2

ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ

§ 1. Стационарные состояния дискретного спектра

2.1. Найти энергетические уровни и нормированные волновые

функции стационарных состояний частицы в бесконечно глубо-

глубокой потенциальной яме ширины а, т. е.

?/(*) =

О < х < а,

х<0, х>а.

Выяснить свойства симметрии полученных функций при ни-

версии координат относительно центра ямы (преобразование

вида х->- хг = —х + d),

2.2. В стационарных состояниях частицы нз предыдущей за-

задачи найти функцию распределения по координатам и импуль-

импульсам частицы, средние значения этих величин и их флуктуации.

2.3. Найтн среднюю кинетическую энергию н ее флуктуацию

в стационарных состояниях из 2.1.

2.4. Состояние частицы в бесконечно глубокой потенциальной

яме ширины а @ < х < й) описывается волновой функцией

вида:

a) W(x)=Ax(x-a);6) W{x) = Bsm2{nx/a).

Найти распределение вероятностей различных значений

энергии частицы, среднее значение н среднюю квадратичную

флуктуацию энергии.

2.6. Для частицы из задачи 2.1 определить вид операторов

координаты и импульса в энергетическом представлении.

2.6. Найтн изменение энергетических уровней н волновых

функций стационарных состояний заряженного линейного осцил-

осциллятора прн наложеннн на него однородного электрического поля,

направленного вдоль осн колебаний.

2.7. Найти четные н нечетные энергетические уровни дис-

дискретного спектра частицы в симметричной потенциальной яме

вида (рнс. 1)

-С/о, \х\<а,

\х\>а.

U(x) =

f — t/o,

I О,

-о,

Рис. 1.

Каково число состояний частицы в дискретном спектре в за<

висимостн от глубины ямы? Каково условие появления новых

состояний дискретного спектра при

углублении ямы?

Найти энергетические уровни нижней

части спектра в случае глубокой потен-

потенциальной ямы #о » Ь2/та2 и определить

смещение этих уровней по сравнению с

энергетическими уровнями частицы 8

бесконечно глубокой потенциальной яме

(см. 2.1).

2.8. Рассмотреть симметричную по-

теицнальную яму (см. предыдущую зада-

задачу) малой глубины #0 < Ъ21тФ. Показать, что в такой яме

имеется одни уровень дискретного спектра, и получить прибли-

приближенные выражения для энергии и нормированной волновой функ<

цнн этого состояния. Найтн средние значения U(x) и Т ¦= p2/2ni.

2.9. Используя результат предыдущей задачи, найтн функций

распределения по координатам и импульсам частицы в основном

состоянии в мелкой потенциальной яме. Определить вероятность'

нахождения частицы в яме. Вычислить произведение неопреде-

неопределенностей координаты и импульса.

2.10. Потенциальная энергия имеет вид 11{х)= 0(хL-

+ аб(х~ Хо), где О(х) —ограниченная функция. Как ведут

себя решение Ч^х) уравнения Шредингера

и его производная в окрестности точки хв?

2.11. Найтн уровни энергии н нормиро-

нормированные волновые функции состояний диск-

дискретного спектра частицы в поле (/(*) =

= —ав(х), а>0 (рис. 2). Найтн средние

значения кинетической и потенциальной

энергии в этих состояниях. Сравнить с ре-

результатом задачи 2.8.

2.12. Найти соответствие между энерге-

энергетическими уровнями дискретного спектра

и нормированными волновыми функциями

стационарных состояний частицы в полях U(x)' и О(х), связан-'

ных между собой следующим образом:

¦(х).

UttA

Рис 2.

*<0,

причем потенциал U(x) симметричен, т. е. (/(*) = lT(—xft

(рис. 3).

2.13. Используя вариационный принцип, показать, что в лю-

любом поле U(x), удовлетворяющем условиям: U{x)—>-0 при x-t>

Рис, 3.

^->-±оо н \ U(x)dx<0, всегда имеется хотя бы одно состоя-

— со

ние дискретного спектра.

2.14. Частица находится в поле вида U(x)— Uof(x/a). Найти

зависимость энергетических уровней Е„ и средних значений х,

(АхJ в стационарных состояниях дискретного спектра от пара»

метра воля #» (или а) при условии ma2U0/tis = const.

2.15. Найти волновые функции стационарных состояний и

уровни энергии частнцы в однородном поле тяжести g для слу-

случая, когда движение частицы ограничено снизу идеально отра-

отражающей плоскостью.

2.16. Найтн энергию ?о и волновую функцию основного со-

состояния частицы в поле U(x) = —Ur,exp(—\x\/a). Специально

рассмотреть случай мелкой ямы

ma2ilD/hs <? 1; сравнить с результатом

задачи 2.11.

2.17. Найти энергетические уровни

°° частицы в поле U(х) вида

UK а,

\х\>а.

U-

При выполнении условия

j. исследовать структуру уровней нижней

-а В их части спектра. Показать, что энергетиче-

Рис. 4. ский спектр состоит из последовательно-

последовательности пар близко расположенных уровней,

и иайтн расстояние между этими близко расположенными уров-

уровнями (рис. 4).

Каков спектр сильно возбужденных состояний частнцы?

Какова картина энергетических уровней при а < О?

IS

2.18. Частица находится в потенциальной яме Щх)\ удовле-

удовлетворяющей условию: U (*)-»¦ 0 при х-»-±оо. Исследовать пове-

поведение решения уравнения Шредннгера прн х-*-±ао в случае

? = 0.

Показать, что не возрастающее прн х->-±оо решение We^o

уравнения Шредиигера существует только прн определенных

параметрах потенциала, отвечающих появлению новых состоя-

состояний дискретного спектра при углублении потенциала.

Применить полученный результат к полю вида

x<0> *>2°-

Uo, 0<x<2a.

Сравнить с результатом задачи 2.7.

2.19. Для частицы в поле V(x) вида (рис. 5)

-а6(х-а), х>0,

найтн зависимость числа состояннй дискретного спектра от па«

раметра % = таа/№.

Рнс. 5.

Рис 6.

2.20. Для частнцы в поле U(x) вида (рис. 6)

{Ub х<0,

О, 0 < х < а,

U2, х>а,

найти условие существования состояний дискретного спектра.

Рассмотреть предельные случаи: a) V\ = ею; б) U, = ?/2.

2.21. Показать, что среднее значение силы, действующей на

частицу в стационарном состоянии дискретного спектра, равно

нулю.

2.22. Частица находится в бесконечно глубокой потенцналь-

иой яме. Вычислить среднюю силу, с которой частица действует

19

на каждую из стенок ямы в стационарных состояниях. Сравнить

с результатом классической механики.

2.23. То же, что и в предыдущей задаче, но для основного

состояния частицы в мелкой потенциальной яме (см. 2.8).

Задачу предлагается решить двумя способами:

а) используя метод решения предыдущей задачи; 6) непо-

непосредственно усредняя оператор силы.

2.24. Частица находится в поле U(x) вида

too, x<0.

Выразить среднюю силу, с которой частица действует на

стенку х — 0 в стационарном состоянии дискретного спектра, че-

через значение ТА @)нормированной волновой функции.

Применить полученный результат к случаю частицы, нахо-

находящейся в бесконечно глубокой потенциальной яме, и сравнить

с задачей 2.22.

2.25. Частица находится в поле, имеющем вид двух одинако-

одинаковых потенциальных ям, расположенных на некотором расстоя-

расстоянии друг от друга так, что по-

потенциальная энергия имеет

вид, указанный иа рис. 7

A/@)= 0).

г Показать, что средняя си-

сила, с которой частица действу-

действует на ямы в стационарных со-

состояниях дискретного спектра,

приводит эффективно к взаим-

взаимному притяжению ям в четных состояниях и к нх взаимному от-

отталкиванию в нечетных состояниях.

2.26. Получить приближенное значение энергии основного

состояния частицы в бесконечно глубокой потенциальной яме

ширины а @ < х < й) вариационным методом, используя

пробные функции вида:

a) W(x) = Ax{x — а); б) W{x) = Взт"{ях/а); в) 44*) =

= С(а/2-|*-о/2|).

Сравнить с точным значением. Объяснить, почему именно

пробная функция вида а) дает результат, наиболее близкий к

точному.

2.27. Найти приближенное значение энергии основного со-

состояния гармонического осциллятора вариационным методом,

используя пробные функции вида:

где а — вариационный параметр. Сравнить с точным значением.

Если рассмотреть пробную функцию вида W(x) =

"=ЛA +ж2/а2)-у (а и v — вариационные параметры), то при

каком выборе этих параметров вариационный расчет даст наи-

наилучшее приближение?

20

Рис. 7.

2.28. Используя пробные функции вида, приведенного в пре-

двШущей задаче, найти вариационным методом энергию основ-

основного состояния частицы в поле (/(*) = — а6{х). Сравнить с

точным решением.

2.29. Для частицы, находящейся в поле U(x) вида

U(x) =

Ckx,

I °°,

х>0

х<0,

(к > 0),

найти энергию основного состояния вариационным методом, ис-

используя пробные функции вида (х > 0):

a) W{x)=-Axexp(—ах); б) ?(*)¦= В*ехр(—ах*/2)

(а — вариационный параметр). Сравнить с точным значением

(см. 2.15).

2.30. Получить приближенное значение энергии первого воз-

возбужденного состояния частицы в бесконечно глубокой потен-

потенциальной яме ширины а @ < х< а), аппроксимируя волновую

функцию этого состояния полиномом третьей степени, удовле-

удовлетворяющим необходимым граничным условиям. Сравнить с точ-

точным значением.

2.31. Используя пробную функцию вида W(x) =

= Лд;ехр(—<x|*|) (а — вариационный параметр), найтн энер-

энергию первого возбужденного состояния гармонического осцилля-

осциллятора. Сравнить с точным значением.

2.32. Для частицы, находящейся в поле U(x)' вида, приве-

приведенного в 2.19, найтн вариационным методом значения парамет-

параметров потенциала, при которых в поле имеется состояние дискрет-

дискретного спектра. При расчетах использовать пробные функции вида

@)

(

a) W{x) = Axexp{— ш); б) /

Сравнить полученные результаты с точным решением.

2.33. Найтн в импульсном представлении вид стационарного

уравнения Шредингера для частицы, находящейся в поле U(x).

2.34. Найти энергетический уровень и нормированную волно-

волновую функцию состояния дискретного спектра в поле (/(лг)=«

= —аб(х) нз решения уравнения Шредингера в импульсном

представлении.

Сравнить с результатом задачи 2.11.

2.35. Найти энергетический спектр и нормированные волно-

волновые функции стационарных состояний гармонического осцилли-

тора в импульсном представлении, исходя нз решения уравне-

уравнения Шредингера в этом представлении.

2.36. Найтн функцию Грина Ge(x, x') уравнения Шредингера

для свободной частицы прн Е<0, убывающую при \х — х?\-*-

—> оо. Функция Грина удовлетворяет уравнению

С помощью функции Грина записать уравнение Шредиигера для

состояний дискретного спектра в поле V(x) (?/(л:)-*-0 при x-r

-¦¦±00) в виде интегрального уравнения.

2.37. Найтн энергетический уровень Ео и нормированную

волновую функцию Ч?о(х) основного состояния частицы в поле

U(х) = —а?(х) из решения уравнения Шредингера в инте-

интегральной форме (см. предыдущую задачу). Сравнить с 2.11.

2.38. Используя результат из 2.36, показать, что значения

энергетических уровней Еп дискретного спектра частицы в про-

произвольном поле 1/(л:)<0 {U(x)-+O при х->±<х) удовлетво-

удовлетворяют условию

В каких случаях достигается равенство (или приближенное

равенство) в этом соотношении? Б качестве иллюстрации полу-

полученного результата см. задачи 2.8 и 2.16.

2.39. Найти функцию Грнна уравнения Шредингера для сво-

свободной частицы, движение которой ограничено непроницаемой

потенциальной стенкой (рис. 8), т. е.

О, х>0,

. х<0,

при отрицательной энергии (Е < 0). Функция Грнна удовлетво-

удовлетворяет граничному условию Ge(x — 0, х') = 0 н убывает при

Рис. 8.

Рис. а

2.40. Используя интегральную форму уравнения Шредннгера,

показать, что условие

является необходимым условием существования состояний дис-

дискретного спектра в поле U(x) вида (рис. 9)

u(x) fD{x)> x>0 (& &

loo, *<0.

22

Применить полученный результвт к случаю

' — ?/0, 0 < х < а.

. О, х > а.

?/(*) =

и сравнить с точным условием.

2.41, Найти функцию Грина GE(x, x') частицы, находящейся

в бесконечно глубокой потенциальной яме ширины а @ <

i)

Обсудить аналитические свойства функции Грина Ge как

функции переменной Е. Показать, в частности, что она имеет

полюсы, и установить соответствие положений этих полюсов в

плоскости комплексной переменной В с энергетическими уров-

уровнями Еп частицы в яме.

2.42. Рассмотрим потенциальные ямы различного вида U(x)',

удовлетворяющие условиям:

со

l/(*)<0; V(x)~*0 при *-*±оо; ^ U(x)dx = a = const.

Какой конкретный вид имеет потенциальная яма, в которой;

а) глубина энергетического уровня \Е0\ принимает макси-

максимальное значение; б) содержится наибольшее число состояний

дискретного спектра, возможное в полях U{x), удовлетворяю-

удовлетворяющих указанным выше условиям?

§ 2. Состояния непрерывного спектра. Прохождение

через потенциальные барьеры

2.43. Для свободной частицы, движение которой ограничено

непроницаемой стенкой, т. е.

Г , х<0,

х>0,

найтн волновые функции стационарных состояний. Нормировать

их на 6-функцию по энергии. Убедиться в полноте полученной

системы функций на интервале х > 0.

2.44. Найти волновые функции ста-

стационарных состояний частицы в поле

(рис. 10)

иы-t°' х<0- ,

I f о. х > О (Uo> 0),

для случая, когда энергия частицы Е

меньше высоты потенциальной стен-

стенки ?/о. Убедиться в ортогональности

полученных функций и нормировать

О

Рис. 10.

нх на 6-функцию по энергии. Образуютли полученные функции

полную систему?

2.45. Исходя из решения уравнения Шредингера в импульс-

импульсном представлении, найти волновые функции стационарных со-

23

стояний частицы в однородном поле U(x)= —FDx. Нормировать

их на в-функцию по энергии и убедиться в полноте полученной

системы функций.

2.46. Определить коэффициент отражения частиц от потен-

потенциальной стенки из 2.44 прн энергии частиц ? > С/о.

Рассмотреть предельные случаи ?-э-оо и Е-*- С/о.

2.47. Определить коэффициенты прохождения и отражения

частиц в случае б-функцнонного потенциала U(x) = aS(x)

.(рис. 11). Рассмотреть предельные случаи ?->-оо и ?-э-0.

Обсудить аналитические свойства амплитуд отражения А (?)

и прохождения В [Е) частиц как функций комплексной перемен-

переменной Е. Убедиться, что точки Е ¦= 0 н ? = оо являются точками

ветвления этих функций. Проведя в плоскости комплексной пе-

переменной Е разрез от точки Е = 0 вдоль вещественной полуоси

Е > 0, найти особенности функций А (?) н В (?) иа первом, так

называемом физическом, и других листах нх римановой поверх-

вости (физический лист фиксируется условием, что фаза точек Е

на вещественной полуоси ?>0 сверху равна нулю). Показать,

что такими особенностями являются полюсы, и установить со-

соответствие между положением полюсов и уровнями дискретного

спектра.

mm

0

Вт

If

я 0 а ~х

Рнс. II.

Рис 12

2.48. Найти коэффициент прохождения частиц через прямо-

прямоугольный потенциальный барьер (рнс. 12)

х<0 и х>а-

IK w

UO, 0<х<а (С/„>0).

Специально обсудить следующие частные случаи:

а) Е-*-со (фактически ? 3> Uo);

б) случай барьера малой прозрачности (С/о — ?)mos/ftsS> 1;

е) ?-> 0 (фактически ?<mc2t/o/ft2 н ?«С/о);

г) та2?/о/Йг«1 и т«2?/Й2<1.

В последнем случае сравнить с результатом предыдущей за-

задачи.

2.49. То же, что и в предыдущей задаче, но в случае потен-

потенциальной ямы,

2.50. Найти значения энергий, прн которых частицы не от-

отражаются от потенциального барьера вида (рнс 13)

?/(*)=а[в (х

VIX)

0

а Ъ

Рис. 13.

Вп)

Ив

0

Рнс

14.

2.51. Найти коэффициенты прохождения и отражения частив

в случае потенциала вида (потенциальная ступенька, см. рис. 14)

i+ ?&> >

Рассмотреть предельные случаи Е-*-оо и Е-*- Vo.

2.52. Определить коэффициент прохождения частиц через

потенциальный барьер вида

U{ U U0>p.

Специально обсудить следующие предельные случаи:

а) слабое поле 1 s= ma!C/0/ft2 < 1 и медленные частицы

б) слабое поле и ие очень медленные частицы ka^, 1;

в) барьер малой прозрачности ? >¦ 1 и быстрые частицы

г) барьер малой прозрачности и

|?-С/оГ«С/о;

3) барьер малой прозрачности и ?-»-0;

е) барьер (или яма) произвольной

величины и ? -> со.

(Такой подробный анализ различных

предельных случаев предлагается прове-

провести с той целью, чтобы в дальнейшем

продемонстрировать на примере рассма-

рассматриваемого потенциала применение при-

Рнс. 16.

-Г .— ..^.епциала применение при-

приближенных методов (теории возмущений и квазиклассическо-

квазиклассического), а также ряда общих результатов теории прохождения ча-

частиц через потенциальные барьеры.)

2.53. Найти коэффициент прохождения частиц через потен-

потенциальный барьер вида (рис. IS)

,,. . fO, x<0,

{Х> {С/оA-х/а), х>0 (С/0>0, а>0).

2S

Специально обсудить случай барьера малой прозрачности

is=Bma2tVft2)''>» 1 при энергиях частиц, удовлетворяющих

условию Ъ\Е — t/0|/tt> > 1.

2.54. Показать, что для барьера произвольной формы авто-

автоматически выполняется соотношение

() + {

где R — коэффициент отражения, D — коэффициент прохожде-

прохождения частиц.

2.55. Показать, что для барьера произвольной формы коэф-

коэффициент прохождения (н отражения) частиц с данной энер-

энергией Е не зависит от того, с какой стороны частицы падают на

барьер.

2.56. Поле U(x) имеет внд потенциальной ступеньки, т. е.

U(x)-*-0 прн х-*- —°о и U(x)-* Uq > О при х-*- °°. Найти энер-

энергетическую зависимость коэффициента прохождения частиц при

?-*¦ fo (иллюстрацией результата могут служить задачи 2.46,

2.51,2.53).

2.57. Найти функции Грина С1^' (х, х') уравнения Шредингсра

для свободной частицы при энергии Е > 0. Индексы (з=) у

функций Грина означают, что они имеют асимптотику

С/1 оо exp (± i y\J^- \x-x'\) при \х-х'\^оо.

Используя полученный результат, представить уравнение

Шредингера в виде интегрального уравнения, решеиия которого

описывают процесс отражения и прохождения частиц с импуль-

импульсом р в поле U(x), удовлетворяющем условиям: U(x)-rO прн

*-*- ±оо.

2.58. Используя результат предыдущей задачи, найти коэф-

коэффициенты прохождения н отражения частиц в поле ?/(*)~

= а&(х). Сравнить с решением 2.47.

2.59. На основании результата 2.57 получить выражения для

коэффициентов прохождения и отражения частиц в поле И(х),

обращающемся в нуль при ж-»-±оо, через волновую функпиго

}Ир[х) в области действия потенциала.

Г л ав а 3

МОМЕНТ ИМПУЛЬСА

§ 1. Общие свойства момента

3.1. Выразить оператор поворота $(фо), описывающий пре-

преобразование волновой функции системы N частиц при вращении

системы координат иа угол фо относительно оси, направление

которой в пространстве определяется единичным вектором п0,

через оператор момента системы.

Является ли оператор $((j>o): а) эрмитовым? б) унитарным?,

3.2. Дать простую интерпретацию коммутативности операто-

операторов проекций импульса и некоммутативности операторов проект

ций момента импульса, исходя из кинематического смысла этих

операторов, связанного с бесконечно малыми переносами и по-

поворотами.

3.3. Показать, что равенство Ls = /(/+!) получается с по-

помощью элементарных формул теории вероятностей, исходя нз

того, что возможные проекции момента на произвольную ось

равны т (т = —/, —/+ 1 1) и все эта значения проекции

момента равновероятны, а оси равноправны.

3.4. Найти следующие коммутаторы:

а) [L,, Н [?„ й, [1„ (рт)], [Z,, (?if];

б) [?„ (pr)Pl. Ui, &)т]„ [1„ (от + 6рI;

в) Hi. ***,], \U, PkPil \U Ш.

где г, р, С—операторы раднуса-вектора, импульса и момента

импульса частицы; а и Ъ — постоянные величины.

3.5. Найти коммутатор [if, ft], где ? и V — операторы мо-

момента импульса частицы по отношению к двум центрам, нахо-

находящимся иа расстоянии а друг от друга.

3.6. Используя коммутационные соотношения для оператора

момента, найти Sp?/, где Ct— матрица i-й компоненты мо-

момента L.

3.7. Представить оператор момента системы нз двух частиц

в виде двух слагаемых, описывающих момент частиц в с. ц. и.

(момент относительного движения) и момент центра инерции

системы.

3.8. Показать, что момент количества движения системы из

двух частиц относительно их центра инерции перпендикулярен

к оси, проходящей через обе частицы.

3.9. Найти нормированные соответствующим образом волно-

волновые функции Ч'г./т, описывающие состояния частицы, находя-

находящейся на расстоянии г0 от начала координат и имеющей мо-

момент 1 и его проекцию m на ось г.

3.10. Найти собственные функпии операторов квадрата мо-

момента частицы и его проекции на ось z в импульсном представ-

представлении следующими двумя способами:

а) непосредственно из решения задачи на собственные функ-

функции и собственные значения операторов I2 и 4 в импульсном

представлении;

б) используя соотношение между волновыми функциями в

г- и р-представлениях.

Вид собственных функций У/т(в, ч>) в координатном пред-

представлении считается известным.

3.11. Показать, что функции, получающиеся в результате дей^

ствня операторов /± = 1Х ± й„ иа собственные функции Ч^,

оператора проекции момента иа ось z (IJVm = тУ?„), также яв-

являются собственными функциями оператора U, отвечаюшими

собственным значениям т + 1 и т — 1 в случаях t+ и Г- соот-

соответственно.

3.12. Показать, что в состоянии Wm с определенной проек-

проекцией момента т на ось z:

»* f

3.13. В состоянии Ч^т с определенными значениями_момента /

и его проекции т на ось z найти средние значения ZJ, /*.

3.14. В состоянии Ф/т с определенными значениями момента

/ и его проекции т на ось z найти среднее значение и среднюю

квадратичную флуктуацию проекции момента на ось г, со-

составляющую угол а с осью z.

3.15. В состоянии частицы, характеризующемся угловой за-

зависимостью волновой функции вида ХР = А cos" <p (q> — угол по-

поворота относительно некоторой оси z, n — целое), найти вероят-

вероятности различных значений т проекции момента на ось г.

3.16. В состоянии частицы, волновая функция которого имеет

угловую зависимость вида Чг = ЛехрB/ф) (<р—азимутальный

угол сферической системы координат), найти вероятности раз-

различных значений I момента частицы.

3.17. Доказать соотношение

\Г1т(в,ч)Р-

21+1

= 4л

где Yim(e,ф) —шаровые функции.

8.18. В пространстве различных состояний момента велнчн-

яы L найти проекционные операторы Р(М) на состояния с опре-

определенной проекцией момента М на ось г.

3.19. Найтн закон преобразования волновой функции состоя-

состояния частицы с определенным значением момента I в fs-пред-

ставленин при вращении системы координат на угол щ

(см. 3.1).

3.20. Показать, что нз коммутационных соотношений \&, f ] =

= 0 оператора физической величины f с компонентами момен-

момента Ci системы следует, что матричные элементы величины f

вида

<«, L,M'\f\n,L,M)

(где и означает набор квантовых чисел, которые вместе с L и М

образуют полный набор) отличны от нуля лишь при М = М' и

прн этом не зависят от М.

3.21. Найти закон преобразования волновой функции частн-

цы в Hz-представлении при отражении координат, т. е. при пре-

преобразовании /г ¦= —г.

§ 2. Момент L = I

3.22. В случае момента частицы 1= 1 найти угловую зависи-

зависимость волновой функции VjR-ofe, ф) (в, ф— угловые переменные

сферической системы координат с полярной осью z) состояния

с определенной проекцией момента т = 0 на ось г, направление

которой в пространстве определяется полярным а и азимуталь-

азимутальным р углами.

3.23. Найтн угловые зависимости волновых функций

Ч''* (б. ф) н Wi F, ф) состояний частицы с моментом 1=1 н

определенным значением проекции момента на осн х и у со-

соответственно. Воспользоваться известным видом шаровых функ-

функций У,, „.(е.ф).

3.24. Частица находится в состоянии с моментом 1= 1 и его

проекцией т (т = 0, ±1) на ось z. Найти вероятности w(m',m)

различных значений проекции момента т' на ось г', состав-

составляющую угол а с осью г.

Задачу предлагается решить одним из следующих способов:

а) используя результат задачи 3.14;

б) путем нахождения коэффициентов разложения с(т', т)

заданной волновой функции в ряд по собственным функциям

оператора ?2> (при решении задачи этим способом ограничиться

каким-либо частным значением т, например т = 0).

Рассмотреть, в частности, случай, когда ось г' перпендику-

перпендикулярна осн г.

3.25. Показать, что в случае момента частицы (= 1 три

функции Ч^-о F, ф), 4^-0F, ф), 4^-0(8, ф), описывающие со-

состояния частицы с равной нулю проекцией момента на осн х,

у, г, образуют полную систему функций (в пространстве угло-

угловых переменных в, ф).

Какой смысл имеют коэффициенты разложения волновой

функции произвольного состояния частицы с моментом ( = 1

в ряд по этим функциям?

3.26. Указать в k-представленни явный вид операторов ком-

компонент момента, повышающего t+ и понижающего ?_ операторов

(?± = 1Л± it у) для момента I = 1.

Каков вид операторов ?±?

3.27. Найтн из решения уравнения на собственные функции

волновую функцию состояния частицы с I = 1 н проекцией мо-

момента U = 0 в 4-представлеиии.

3.28. В состоянии частицы с моментом_ Z= 1 и его проек-

проекцией т на ось г найтн следующие средние:/", # (га —целое чи-

число).

3.29. Найтн явный вид оператора F = F(al)', где а —обыч-

—обычный вектор, F(x) —некоторая функция переменной х, Т—опе-

Т—оператор момента частицы. Оператор Р действует в пространстве

Состояний частицы с моментом 1= 1 (или же 1 являются матри-

матрицами момента I = 1).

3.30. Найти явный вид оператора $((j>o) поворота системы

координат на угол (j>0 (см. 3.1 и 3.19), действующего в простран-

пространстве состояний частицы с моментом 1=1.

3.31. Используя результат предыдущей задачи, найти угло-

угловую зависимость волновой функции Ч'д-о (в, <р) состояния ча-

частицы с моментом 1=1 н его проекцией т = 0 на ось г, на*

правление которой определяется углами я, р. Сравнить с 3.22.

3.32. Ё пространстве состояний частицы с моментом 1= 1

¦найти проекционные операторы Р{т) (т = 0, ±1) на состояния

<j определенной проекцией момента т на ось z.

3.33. Обобщить результат предыдущей задачи на случай

Произвольно направленной оси г.

Используя полученный вид операторов Р(т), найти (в lz-

рредставлении) волновую функцию состояния частицы с проек-

проекцией момента т = 0 на ось 2.

Найти также указанным способом волновую функцию

Vffi-o(e, ф)состояния частицы с моментом 1=1. Сравнить с ре-

результатами 3.22 и 3.31.

§ 3. Сложение моментов

3.34. Моменты h и /2 двух слабо взаимодействующих систем

складываются в результирующий момент величины L. Показать,

что в таких состояниях (с определенным значением L) скаляр-

скалярные произведения Tilz, ТХ,УьС также имеют определенные зна-

значения.

3.35. Каков спектр физической величины, представляющей

собой квадрат векторного произведения двух моментов

/i и г2?

3.36. Найти следующие коммутаторы:

а) [Ц, (Щ, [1„ (r,fo], [Z,, (?,f2)J;

б) [?„*,*], [1„йЛ. ? = (Щ

где f|, Т2 — операторы моментов двух частиц, L = Ii +f2 — опе-

оператор суммарного момента.

3.37. Имеются две слабо взаимодействующие системы 1 и 2,

состояния которых характеризуются квантовыми числами

ffi, mi) и Aг, тг) момента н его проекции на ось г.

Указать возможные значения полного момента/, совокупной

системы A + 2) и вычислить средние аначення С iL'b рас-

рассматриваемом состоянии.

К

Усреднить полученное выражение для L2 по всем состояниям

с различными значениями т\ и т% считая их равновероятными,

и результат сравнить с соответствующим средним аиачеиием,

вытекающим из классического рассмотрения.

3.38. В условиях предыдущей задачи вычислить вероятности

различных значений суммарного момента L для частного слу-

случая mi = h, тг = k — 1.

3.39. Моменты двух слабо взаимодействующих систем, оди-

одинаковые по величине (h — li = l), складываются в результи-

результирующий момент L. Показать, что волновая функция Vi.(tni,mt)

состояния системы с определенным значением величины L в

']г4г-предсгавленин имеет определенную симметрию по отноше-

отношению к перестановке местами переменных пц и т2*). Как зави-

зависит характер симметрии волновой функции от значения вели-

величины Li

3.40. Используя результат предыдущей задачи, иайти вероят-

вероятности различных значений суммарного момента L в состоянии

двух систем с одинаковыми моментами I н определенными

проекциями складываемых моментов на ось z, равными mi = l

и тг = /~ 1. Сравнить с результатом задачи 3.38.

3.41. Две системы, имеющие одинаковые моменты I, нахо-

находятся в состоянии с определенным значением L суммарного мо-

момента, равным: a) L = 21; б) L = 21— 1 — и проекцией суммар-

суммарного момента на ось г, равной M = 2Z—1 (в обоих

случаях).

Найти вероятности различных значений проекций склады-

складываемых моментов на ось z в рассматриваемом состоянии.

3.42. Используя результаты задач 3.37 и 3.39, найти вероят-

вероятности различных значений суммарного момента в состоянии

двух систем с моментами, равными единице, и проекциями этих

моментов на ось z, равными нулю.

Обобщить результат задачи на случай произвольных (ио оди-

одинаковых) значений моментов ( каждой из систем и одинаковых

проекций складываемых моментов иа ось z, равных mi = тг =

= 1—1.

3.43. То же, что и в предыдущей задаче, но в случае U =

= & = 1 и mi = l, m2 = — I.

Обобщить результат на случай произвольных значений мо-

моментов h = h = l каждой из систем и проекций моментов иа

ось г, равных mt = I, m2 = Z — 2.

*) Во избежание недоразумении подчеркнем, что следует различать двоя-

двоякий смысл употребления буквы т, а именно: т как с. з. оператора U и т

как переменная /«-представления {впрочем, это замечание относится и к про-

произвольной физической величине f).

В связи с этим напомним, что мы стремимся придерживаться такой записи

с.ф. Ч*Н<7)) в которой ц является переменной используемого представления,

а / указывает соответствующее с э.

81

3.44. Используя результат нз 3.39, показать, что в состоянии

Двух слабо взаимодействующих систем с одинаковыми момен-

моментами /, отвечающем определенному значению L суммарного мо-

момента и его проекции т на ось z, вероятности значений Проек-

Проекций на ось z складываемых моментов /яц» ¦= т и отщ) = М-— т

равны.

3.45. Основываясь на результатах 3.37 и 3.39, иайти ограни»

чення сверху и снизу на вероятности возможных значений L

суммарного момента двух слабо взаимодействующих систе^,

Имеющих одинаковые моменты h =/ 2 = 2 и их проекции на

ось г, равные mi = m2 ¦= 0.

3.46. Моменты двух систем, одинаковые по величине (/i «^

•"Ь"=0, складываются в результирующий момент L, равный

нулю: L «= 0.

Найти волновую функцию этого состояния в /иЬг-представ-

ленни н вероятности различных значений проекций складывае-

складываемых моментов иа произвольную ось.

При решении задачи воспользоваться операторами L±.

3.47. Моменты двух частиц равны /1 = 4 = 1- Построить

волновые функции Vim состояний с определенным значением L

суммарного момента и его проекции М на ось z.

Специально обсудить угловую зависимость состояния с L = 0.

Найти в рассматриваемых состояниях 4'lm вероятности

различных значений проекций складываемых моментов на

OCbZ.

Задачу предлагается решить иа основе результатов задач 3.39

и 3.46.

3.48. Произвести классификацию возможных состояний си-

системы, состоящей из трех слабо взаимодействующих подсистем

с моментами 1\ — ls = 1 и h = /¦ по значениям суммарного мо-

момента L системы.

3.49. В пространстве различных состояний моментов U и k

двух слабо взаимодействующих систем найти проекционные

операторы P(L) на состояния с заданным значением L суммар-

суммарного момента.

3.50. В пространстве различных состояний моментов k и 1г

двух слабо взаимодействующих систем найтн проекционные опе-

операторы P(L,M) на состояния с заданным значением L суммар-

суммарного момента и его проекции М на ось z.

3.51. Моменты двух слабо взаимодействующих систем равны

/, = 12 = 1. Используя технику проекционных операторов, найти

(в ЛгЬг-представлении) волновую функцию WL=o состояния с

значением ?=0 суммарного момента. Сравнить с результа-

результатом 3.47.

3.52. Исходя из коммутационных соотношений [?,,/*] =

= teinifi для операторов компонент момента ?,- н произвольной

векторной величины (ь, характеризующих некоторую систему,

показать, что;

а) иеднагональпые матричные элементы оператора /а рав-

равны нулю:

{п, L, Mlf.ln, L, М') = 0, Мф М',

где п — совокупность квантовых чисел, которая вместе с L и М

образует полный набор;

б) диагональные матричные элементы fz имеют зависимость

от М вица

(п, L, M\Un, L, M) = a(n, L)M,

где a (n, L) — некоторое число, зависящее только от квантовых

' чисел п к L (но не от М).

Таким образом из а) и 6) вытекает «условное» равенство

f = a(«, L)lz,

которое следует понимать в том смысле, что матричные эле-

элементы обеих частей равенства между произвольными состоя-

состояниями, отвечающими одним и тем же значениям га и Л (и про-

произвольным М, М'), равны.

е) Обобщить результаты а) и б) на случай х-, jz-компонент

операторов и установить «условное» равенство (в указанном

выше смысле)

1 ?

г) Показать, что величина a(n,L) равна

, .._ (в, ?,М|Гь|я, L.M)

Так как оператор (f L) — оператор скалярной величины, комму-

коммутирующий с L, то диагональные матричные элементы этого опе-

оператора не зависят от М (см. 3.20).

3.53. Используя результат предыдущей задачи, иайти матрич-

матричные элементы оператора физической неличииы f = [lilz] между

состояниями, отвечающими определенному значению L суммар-

суммарного момента (L =•= К + Г2).

3.54. Найти средние значения компонент векторной физиче-

физической величины и = gi'i + gab в состояниях с заданным значе-

значением L суммарного момента (L — li + b) и его проекции М на

ОСЬ Z. _ _

Определить li и U в таких состояниях.

3.55. Как известно, проблема сложения моментов двух ся«

стем h и k в результирующий момент L решается в общем вид*

следующим соотношением:

2 В, Мя Гллицкнй и др.

М = т, + mi,

31..

где Cfj"l(,mj — коэффициенты Клебша — Гордана (для которых

существует замкнутое выражение) ;Ч'У^2' —нормированные вол*

новые функции, описывающие системы, моменты которых скла*

дываются в результирующий L; ^Vlm — нормированная волновая

функция совокупной системы.

Используя технику повышающих (понижающих) операторов

?±, найти коэффициенты Клебша — Гордаиа в частном случав

I* — 'i + '2-

3.56. То же, что н в предыдущей задаче, но в частном случав

d fe Z 0

§ 4. Тензорный формализм в теории момента

3.57. Показать, что функция вида

где f(r) — произвольная функция, eik...a — симметричный по

любой паре индексов тензор ранга I с равным нулю следом,

Е„р...» — 0, является собственной функцией оператора квад-

квадрата момента частицы, отвечающей значению момента, рав-

равному (.

3.58. Показать, что число независимых компонент у симмет-

симметричного тензора ранга I с равным нулю следом (см. предыду-

предыдущую задачу) равно 2( + 1, как и число шаровых функций Уш.

Тем самым будет доказано, что угловая зависимость волновой

функции, рассмотренная в предыдущей задаче, является наибо-

наиболее общей для состояний частицы с моментом (.

3.59. Согласно задаче 3.57 наиболее общая зависимость от

угловых переменных 8, <р волновой функции состояния частицы

с моментом 1 = 1 имеет внд Wti = (еп) , л = г/г. Какому усло-

условию удовлетворяет вектор е в случае нормировки волновой

функции на единицу:

3.60. В частных случаях аначений момента частицы 1 = 1 и

( = 2 найти компоненты соответствующего тензора (ei(m), е« (т)),

при которых функция Vz, введенная в 3.57, описывает состояние

частицы с определенным значением момента и его проекции т

на ось z, т. е. является шаровой функцией Уш-

3.61. Используя значения компонент векторов s(m), получен-

полученные в предыдущей задаче, иайти компоненты тензора вида

i

? е;(ет)ей(т).

3.62. Б соответствии с результатом задачи 3.57 наиболее об-

общая зависимость от угловых переменных волновой функции со-

состояния частицы с моментом 1 = 1 имеет вид 4fi_i=(en), где

е —произвольный комплексный вектор. Каким условиям должен

удоалетворнть этот вектор, чтобы можно было указать такую

ось в пространстве, проекция момента на которую имеет опре-

определенное значение, равное

а) й = 0; б) й = ±1?

3.63. Показать, что для произвольного состояния частицы

с моментом 2 = 1 можно указать такую ось z в простран-

пространстве, вероятность проекции момента т = 0 на которую равна

нулю.

3.64. Угловая зависимость волновой функции состояния чя-

стнцы с моментом 1=1 имеет вид Wi=i = (en), где е — произ-

произвольный комплексный вектор. Найти вероятности различных

значений проекции момента на ось г, направление которой опре-

определяется единичным вектором по.

3.65. Найти средние значении компонент тензора пщн в про-

произвольном состоянии частицы с моментом /=1. Угловая зави-

зависимость волновой функции такого состояния, согласно 3.57,

имеет вид Wt=i =(еп).

3.66. Найти средине значения компонент вектора момента I

в произвольном состоянии частицы с моментом / = 1 (внд вол-

волновой функции такого состояния приведен в предыдущей за-

задаче) .

3.67. Согласно 3.57 угловая зависимость волновой функции

произвольного состояния частицы с моментом 1 = 1 имеет вид

4^=1= (an), т. е. полностью определяется комплексным векто-

вектором а. Поэтому прн рассмотрении состояний с моментом (= 1

можно перейти к представлению (назовем его векторным), в

котором волновой функцией является совокупность компонент

вектора ак, т. е. Ч'в = а„ (k = \, 2, 3).

Найтн явный вид операторов компонент момента в вектор-

пом представлении.

Установить соответствие между векторным н fe-представле-

ннем.

3.68. Для системы из двух частиц, имеющих моменты h =

= k = ', найти:

а) наиболее общий внд угловой зависимости волновой

функции;

б) наиболее общий вид угловой зависимости волновых функ-

функций Wl, описывающих состояния системы с определенным зна-

значением L (L = 0, 1, 2) суммарного момента;

е) угловую зависимость волновых функций Wlm, описываю-

описывающих состояния системы с определенным значением L суммар-

суммарного момента и его проекции М на ось г.

При решении использовать результаты задач 3.57 и 3.60.

Глава 4

ДВИЖЕНИЕ В ЦЕНТРАЛЬНОМ ПОЛЕ

§ 1. Системы с аксиальной симметрией

4.1. Найти волновые функции стационарных состояний и

уровни энергии плоского ротатора *) с моментом инерции /.

Какова кратность вырождения уровней?

4.2. Состояние плоского ротатора описывается волновой

функцией вида 4r = Ccos"q> (и — целое). Найти функции рас-

распределения ротатора по энергиям и проекциям момента, а так-

также средние значения этих величин в указанном состоянии.

4.3. Найти волновые функции стационарных состояний и

уровни энергии пространственного ротатора с моментом инер-

инерции /.

Какова кратность вырождения уровней?

4.4. Состояние пространственного ротатора описывается вол-

иовой функцией вида:

о) V^Ccos'e; б) 4' = Ces'4

В указанных состояниях найти функции распределения ро-

ротатора по энергии, квадрату момента и его проекции иа ось z,

а также средние значения этих величия.

4.5. Найти энергетические уровни и волновые функции ста-

стационарных состояний плоского гармонического осциллятора.

Определить кратность вырождения энергетических уровней.

4.6. В стационарном состоянии 4^1 плоского осциллятора

(см. решение 4.5) найтн вероятности различных значений проек-

проекции момента иа ось, перпендикулярную плоскости колеба-

колебаний.

4.7. Частица находится в аксиально симметричном поле Щр).

Какую кратность вырождения имеют в общем случае (т, е.

в отсутствие случайного вырождения) энергетические уровни

дискретного спектра «поперечного» движения частицы (т. е. дви-

движения в плоскости, перпендикулнриой оси симметрии поля)?

Может ли кратность вырождения первого возбужденного

уровня «поперечного» движения быть равной 3; 4?

4.8. Найти энергетические уровни и волновые функции ста-

стационарных состояний частицы в бесконечно глубокой двумерной

потенциальной яме

f о,

t/(p)[email protected]>

р<а,

р>а.

*) Ротатором называется вращающаяся {в плоскости или в пространстве)

система из "двух жестко связанных друг с другом частиц. Момент инерции

ротатора равен / = (AQS, где ц — приведенная масса частиц, а—расстояние

у

4.9. Найтн энергетические уровни дискретного спектра ча

стицы в двумерной потенциальной яме С/(р) вида

?/(p) =

p<o,

О,

отвечающие значению m = 0 проекции момента частицы па на-

направление, перпендикулярное плоскости движения.

Специально обсудить случай мелкой ямы \ia2Uo/h2 <? 1;

сравнить с одномерным движением.

4.10. То же, что и в предыдущей задаче, но в случае тФЧ.

Получить условие существования состояний дискретного

спектра частицы с отличным от нуля значением проекции мо-

момента т.

4.11. Для частицы, находящейся в двумерном поле С/(р) =

= —а6(р — а), найти энергетические уровни дискретного

спектра с проекцией момента, равной нулю: т = 0.

Специально обсудить предельные случаи мелкой цаа/ti2 <? 1

и глубокой fiaa/Й2 3> I ям. Сравнить с одномерным движением.

4.12. То же, что и в предыдущей задаче, но в случае тфО.

Получить условие существования состояний Дискретного

спектра частицы с отличным от нуля значением проекции мо-

момента т.

4.13. Найтн энергетические уровни частицы дискретного

спектра в двумерном поле С/(р)=—а/р. Определить кратность

вырождения уровней. Сравнить со случаем кулоновского поля

U(r)=-a/r.

4.14. Для частицы, находнщейся в бесконечно глубокой дву-

двумерной потенциальной яме вида, указанного в 4.8, найти при-

приближенно энергию основного состояния вариационным методом,

аппроксимируя волновую функцию выражениями вида (р<Сй):

и) Чгс(р) = Л(а-р); б) Ч'о(р) = ВсОб(пр/2й).

Сравнить полученные результаты с точным значением.

4.15. То же, что и в предыдущей задаче, но для энергии

Еп -о. i tn i=i первого возбужденного состояния частицы с проек-

проекцией момента |т|= 1. Радиальную волновую функцию аппро-

аппроксимировать полиномом второй степени, удовлетворяющим не-

необходимым граничным условиям в точках р = 0 и р = а.

4.16. Получить приближенное значение энергии основного со-

состояния плоского осциллятора вариационным методом, исполь-

используя пробную функцию вида

Ч'0(р) = Сехр(—ар), где а — вариационный параметр.

Сравнить с точным значением (см. 4.5).

4.17. В двумерном случае найти функцию Грина уравнения

Шредиигера для свободной частицы при энергии Е < 0, убы-

убывающую прн р -> со.

37

4.18. В двумерном случае найти функции Грина Cjf'(p, p')

^авненнн Шредиигера для свободной частицы при энергии

> 0. Индексы (±) у функции Грнна указывают на характер

ее асимптотики при р-э-оо:

Gf> со ехр[± i т/ЩШ/Ш р].

4.19. Найти функцию Грина G?(q>, if') плоского ротатора

(см. 4.1).

Рассматривая функцию Грииа 0? как аналитическую функ-

функцию комплексной переменной Е, показать, что она имеет особые

точки — полюсы, — и установить соответствие между положения-

положениями этих полюсов в плоскости Е и энергетическими уровнями

ротатора.

§ 2. Состояния дискретного спектра в центральных полях

4.20. Как изменяются значения Enri энергетических уровней

частицы в дискретном спектре:

а) при фиксированном значении I с увеличением п,;

б) при фиксированном значении п, с увеличением If

4.21. Для частицы, находящейся в центральном поле,

а) могут лн быть двукратно вырожденные уровни?

б) какую кратность вырождения может иметь первый воз-

возбужденный уровень?

в) что можно сказать о квантовых числах уровня, если его

кратность вырождения равна 7; 9?

4.22. Обозначим через Ек значение энергии /V-ro уровня дис-

дискретного спектра частицы в центральном поле (нумерация

уровней ведется в порядке возрастания энергий; основному со-

состоянию соответствует N = 1). Указать ограничения на макси-

максимально возможные значения:

о) момента частицы в состояниях, имеющих такую энер-

энергию Ец\

б) кратности вырождения такого уровня.

4.23. Найти уровни энергии и нормированные волновые функ-

функции стационарных состояний сферического осциллятора С/(г) =

= kr2/2, используя метод разделения переменных в уравнении

Шредннгера в декартовых координатах. Определить кратность

вырождения уровней.

4.24. Произвести классификацию четырех нижних уровней

осциллятора по значениям квантовых чисел п„ I и четности,

исходя только нз известного значения (см. предыдущую задачу)

кратности вырождения уровней.

Какая комбинация волновых функций Ч'щп.п, отвечает со-

состоянию осциллятора с моментом I = 0 (при /V = п\ -f- п2 +]

+ п = 2)?

4.25. Найти уровни энергии и собственные функции

^nrim(r, 6, <р) оператора Гамильтона сферического осциллятора

из решения уравнения Шредингера в сферических координатах.

Произвести классификацию состояний осциллятора, относящих-

относящихся к /V-му энергетическому уровню, по квантовым числам nr, I

и четности. Какова кратность вырождения уровней?

4.26. Показать, что для пространственного осциллятора опе-

операторы

коммутируют с гамильтонианом # = ра/2ц + &г2/2.

Убедившись в том, что коммутатор операторов I2 и Тп отли-

отличен от нуля, объяснить «случайное» вырождение энергетических

уровней осциллятора.

4.27. В классической механике прн движении частицы в ку-

лоновском поле U(r) = —a/r вектор А = [рМ] /ц — иг/г яв-

является интегралом движения. Указать вид эрмитова оператора

А, который можно сопоставить классической векторной вели-

величине А.

Найтн коммутаторы [Н, А,] н [I2, А,\ и иа основании полу-

полученных результатов объяснить «случайное» вырождение энер-

энергетических уровней частицы в кулоновском поле.

4.28. В основном состоянии водородоподобного атома (иона)

найти для электрона г".

4.29. Найти эффективный (средний) потенциал <р(г)', дей-

действующий на заряженную частицу, пролетающую сквозь невоз-

невозбужденный атом водорода (пренебрегая поляризацией послед-

последнего). Получить предельные значения q>(r) для больших и ма-

малых расстояний частицы от атома.

4.30. Найти среднее электрическое поле атома водорода в

2р-состоянии с определенным значением т = 0 проекции мо-

момента электрона на ось г на больших расстояниях от атома.

4.31. Найтн среднее электрическое поле и его флуктуацию

(флуктуацию компонент поля) на больших расстояниях от ато-

атома водорода, находящегося в основном состоянии.

Обратить внимание на характер убывания найденных ве-

величин с увеличением расстояния.

4.32. Стационарное состояние электрона в атоме водорода

характеризуется «параболическими» квантовыми числами щ =

= 1 ¦ «2 = 0 и магнитным квантовым числом т = 0.

Найти распределение вероятностей координаты электрона г

и его момента ( в этом состоянии (z—ось параболического

квантовании). Определить средний дипольиый момент атома d

указанном состоянии.

4.33. Найтн уровни энергии ?„ i и волновые функции Ч^г™

стационарных состояний частицы а бесконечно глубокой сфе-

39

рическои яме

U(r) =

_( 0, г<я,

\ оо, г > а.

4.34. Найтн энергетические уровни частицы в поле

?/(/-) = — об (г — а).

Каково условие существования состояний дискретного спект-

спектра с моментом (?

4.35. Найти уровни энергии дискретного спектра s-состояннй

частицы а поле

t/(r)=-?/oexp(-r/a).

Получить условие существования таких состояний.

Каково условие появления новых s-состояний дискретного

спектра частицы при углублении ямы? Специально обсудить

случай глубокой ямы цв2С/о/Й23> 1.

4.36. Найти соответствие между энергетическими уровнями

?„гп и нормированными волновыми функциями Чг„гоо('') стацио-

вариых s-состояннй ((= 0) дискретного спектра частицы в

центральном поле U(r) и уровнями Е„ и нормированными функ-

функциями Ч'о (х) в одномерном поле О (х) вида

?/(*) =

(x),

х<0.

Используя установленное соответствие, найти условие суще-

существования состояний дискретного спектра в поле

{—С/о, г < а,

0, Г>а.

4.37. Обобщить результат задачи 2.18 на случай s-состояиий

частицы в центральном поле U(г).

Найти условие существования дискретного спектра в поле

°°. г<а,

а1гп, г>а

4.38. Обозначим через Е„ и Е„ значения n-го уровия энергии

дискретного спектра в полях U (г) и О (г), связанных условием

0{r) = U{r) + bU(r), M/(r)>0.

Показать, что Е„ >= ?„.

4.39. Показать, что если параметры центрального поля

таковы, что в поле нет «падения» частип на центр поля, то со-

состояния дискретного спектра в таком поле отсутствуют.

40

4.40. Найтн среднее давление, оказываемое частицей, нахо-

находящейся в стационарном состоянии в бесконечно глубокой сфе-

сферической яме (см. 4.33), на «стенку» ямы.

4.41. Получить приближенное значение энергии основного

состояния частицы в кулоновском поле U = —a/r варнаиион-

ным методом, используя пробные функции вида:

a)

(-aV); б)

(а —г), г<а,

О, г>а,

где а, а — вариационные параметры. Сравнить с точным зна-

значением.

4.42. То же, что и в предыдущей задаче, для осциллятора

U = kr*/2 и пробных функций вида:

а) V(г) -Смр(-ог); б) W(r)

я —г), г<а,

О, г>а.

4.43. Получить приближенное аиачеиие энергии 2р-состояиия

частицы в кулоиовском поле вариационным методом, используя

пробную функцию вида

где а — постоянный вектор (см. 3.S9 и 3.60), и —вариационный

параметр. Сравнить с точным значением.

4.44. То же, что и в предыдущей задаче, но для первого

возбужденного состояния осциллятора с моментом / = 1 и проб-

пробной функции

?(г) = (аг)юр(-аг).

4.45. Найти фуикцию Грина Ое(т,т') уравнения Шредингера

для свободной частицы при энергии Е < 0, убывающую при

г-* оо. С помощью фуниции Грииа записать уравнение Шредии-

гера для состояний частицы в дискретном спектре в поле U(г/,

убывающем при г->оо, в виде интегрального уравнения.

4.46. Как известно, у частицы в центральном поле притяже-

притяжения i/(r)<0, C/(r)->0 при г-э-оо, не всегда имеются состояния

дискретного спектра. Показать, что необходимым условием су-

существования таких состояний является выполнение неравенства

Установленное необходимое условие сравнить с точным

условием существования состояний дискретного спектра в полях:

а) прямоугольная яма (см, 4.36); б) экспоненциальная яма,

рассмотренная в 4.35.

41

4.47. Показать, что выполнение неравенства

является необходимым условием существования в центральном

поде притяжения t/{r)^O, t/(r)->0 при r-э-оо, хотя бы одного

уровня дискретного спектра частицы с моментом /.

4.48. Исходя из вариационного принципа и используя проб-

пробную функцию вида Чг = Сехр{—v.r) {и> 0 — вариационный

параметр), получить достаточное условие существования в цен-

центральном поле U(r)^.O, V(r)-*-0 при г—*оо, хотя бы одного

уровня энергии дискретного спектра частицы.

Применить полученное условие к полям:

о) 6-функционная яма (см. 4.34); б) экспоненциальная яма

'{см. 4.35)—и сравнить с точным условием.

4.49. Для указанных ниже полей сравнить следующие три

эначения параметра %, = [ia2U0/fis {характеризующего глубину

соответствующей потенциальной ямы): ?я — значение парамет-

параметра ?, которое является необходимым для существования в поле

состояний дискретного спектра согласно результату задачи 4.46;

go—значение, соответствующее точному, и |д —достаточному

условию {согласно предыдущей задаче) существования состоя-

состояний дискретного спектра.

о) б-функционная яма (см. 4.34): t/(r)=—ГЛ>аб{г—а);

б) экспоненциальная яма (см. 4.35);

е) потенциал Юкзвы V(r)=—Ucoexp(—r/o)/r (значение

go = 0,84 — результат численного расчета на ЭВМ).

4.50. То же, что и в 4.48, для частииы в поле

и пробной функции вида

Найти также и необходимое условие существования состоя-

состояний дискретного спектра согласно 4.46.

4.51. То же, что и в 4.48, но для состояния дискретного

спектра с моментом /= I. Пробную функцию выбрать в виде

^^{aOexpt—кг).

Применить полученное условие к потенциалу Юкавы V =

— —aer-rto/r и сравнить с необходимым условием, рассчитан-

рассчитанным согласно 4.47.

4.52. Найти распределение по импульсам частицы в основ-

основном состоянии в кулоиовском поле U — —а/г.

4.53. Для основного состояния частицы в бесконечно глубо-

глубокой сферической потенциальной яме {см. 4.33) найти функцию

распределения по импульсам частицы.

4.54. Решить задачу о состояниях дискретного спектра с мо-

моментом / = 0 в поле U(r)=—аб{г — а), исходя из решения

уравнения Шредингера в импульсном представлении.

4.55. Найти решение уравнения Шредингера предыдущей

задачи при граничном условии ф{р) = 0 при р^ръ (Рч1>Щ.

Показать, что в такой постановке задачи в яме произволь-

произвольной глубины имеется состояние дискретного спектра, в котором

частица локализована в ограниченной области пространства, и

найти энергию связи частицы в случае мелкой ямы цаа/Н2 -с I

{сравнить с результатом предыдущей задачи).

Образование связанного состояния частицы в рассмотренной

постановке задачи при наличии сколь угодно слабого притяже-

притяжения составляет содержание так называемого феномена Купе-

Купера — явления, лежащего в основе макроскопического механизма

сверхпроводимости.

4.56. Найти квазкдискретные уровни энергии (их положение

и ширину) s-состояний частицы в поле U(r) = аб{г— о).

Специально обсудить случай малопровнцаемого барьера

\uxafb2 >1 и не очень сильно возбужденных квазидискретных

уровней.

Глава 5

СПИН

§ 1. Формализм спина s=l/2

5.1. Для частицы со спином s= 1/2 найти из решения за-

задачи па собственные функции и собственные значения спиновые

функции Ч^ (/== 1, 2, 3), описывающие состояния частицы с

определенной проекцией спнна на оси хт у, z системы координат.

5.2. Указать вид оператора проекции спнна ?й на произволь-

произвольное направление, определяемое единичным вектором п.

Чему равно среднее звачение проекции спина нз ось п в со-

состоянии с определенной проекцией спина sz = d=I/2 на ось г?

Каковы вероятности проекции спина ±1/2 на направление и

в указанных состояниях?

5.3. Найти собственные значения оператора / = а + Ьа {а —*

число, Ь — обычный вектор, о — матрицы Паули).

5.4. Могут ли квадраты проекций электронного спина на оси

х, у, z иметь одновременно определенные значения?

5.5. Произвольный линейный оператор L, действующий в про-

пространстве спиновых переменных частицы с s = 1/2, является

квадратной матрипей 2-го ранга. Какие ограничения наклады-

накладывает эрмитовость оператора L на элементы этой матрицы?

Найтя собственные значения такого эрмитова оператора.

6.6. Убедиться в полноте системы из четырех двухрядных

матриц 1, ох, Оу, о2.

Показать, что коэффициенты в разложении произвольной

квадратной матрицы 2-го ранга Л по этим матрицам

А = ай1 + ахдх + aaby + а^ = аа + аог

могут быть вычислены по формулам

aa = -^SpA, a = -g- Sp((M).

5.7. Каков явный вид операторов \&г\, |о|, о[аа\>

5-8. Упростить выражение (ао)", где а —обычный (число-

(числовой) вектор, о — матрицы Паули, п — целое число.

5.9. Найти явное выражение оператора вида Р = F{а + Ьо),

где F(я)—произвольная функция переменной х, а = const, Ъ —

обычный вектор.

Рассмотреть, в частности, оператор Р = exp (iao).

5.Ю. Указать возможный вид операторов проекций электрон-

электронного спина sx, Sy, sz в Sjt-представленин.

Найти вид унитарного оператора О, осуществляющего пе-

переход от sz- к Sjc-представлению.

5.11. Для слииа s = \/2 указать вид повышающего и пони-

понижающего операторов s± и рассмотреть их действие на собствен-

собственные функции Yv Каковы операторы si?

5.B. Показать, что для состояния, описываемого спиновой

волновой функцией

(это есть наиболее общин вид нормированной волновой функции

спинового состояния частицы со спином s=l/2; 0 ^ а ^п/2,

Р^р<2л), можно указать такую ось в пространстве, проек-

проекция спина на которую имеет определенное значение +1/2. Най-

Найти полярный и азимутальный углы этой оси (ср. с результатом

3.62 для момента L= 1).

Используя полученный результат, решить задачу 5.1.

5.13. Найти проекционные операторы Р%г-±т 11а состояния

с определенным значением проекции спина s2 = ±1/2 на ось г.

5.14. Найти проекционные операторы PSn=±i/2 на состояния

с определенным значением проекции спина ±1/2 ра ось, на-

направление которой определяется единичным вектором п.

С помощью этих операторов найти спиновые функции

Ч*5„->±1/2. Сравнить с результатом задачч 5.12.

5.15. Для частицы со спином s= 1/2 указать закон преоб-

преобразования спиновой волковой функции *^=(ф|) ПРИ враще-

44

нии системы координат на угол щ относительно оси, направле-

направление которой определяется единичным вектором По-

Показать, что величина 0"W «s ф'ч];, + qyb 11е изменяется

при указанном преобразовании, т. е. является скаляром.

5.16. Показать, что при врашении системы координат величи-

величины У=Ф*оУ (Vt^ X ч?F/) ЛЛ преобразуются как комло-

V о. Р Р /

ненты вектора.

5.17. Для двух частиц со евчном s = 1/2 найти собственные

функции *?ssz операторов суммарного спина (точнее, его квад-

квадрата) и его проекции на ось г.

Вид функций Тю и Wim найти одним из следующих способов

(учитывая наиболее общий вид функции, отвечающей S2 = 0:

й) непосредственно из уравнения на собственные функции

оператора Sa;

#) воспользовавшись операторами $±;

в) основываясь на свойствах симметрии функций •Fs по от-

отношению к перестановке спиновых переменных обеих частиц,

аналогичных установленным в 3.39.

5.18. Показать, что оператор a\Oz в состояниях системы из

двух частиц, отвечающих определенному значению суммарного

спина, также имеет определенное значение.

5.19. Две частицы со спином s == 1/2 находятся в состоянии,

описываемом спиновой функцией вида Уяр = ф-де fa, p =

= ', 2 — спиновые переменные каждой из частиц; спиновые

функции обеих частиц нормированы на единицу, так, например,

Ф== f " V |ф| |а + |<р2|г— 0> т- е- между спиновыми состояния-

состояниями частиц нет корреляции.

Каковы вероятности различных значений_суммарного спина

в этом состоянии? Чему равно значение 5?? Рассмотреть, в

частности, случай, когда фй = уа.

5.20. Представить выражение (©югJ в виде, содержащем

матрицы Паули о\, % в степени не выше первой. Индексы I, 2

у матриц означают, что эти матрицы являются операторами,

действующими в пространстве спиновых переменных 1-й и 2-Й

частиц.

5.21. Найти явный вид оператора Р= F(a -J- froics), где

F(x) —произвольная функция переменной х, а и Ь— некоторые

числа.

5.22. Используя результат задачи 5.18, найти проекционные

операторы Ps=n, \ на состояния .двух нзетиц со спином s == 1/2,

отвечающие определенному значению суммарного спина частиц.

45

5.23. Для системы из двух частиц со спином s = 1/2 найти

оператор спинового обмена €, действие которого на спиновую

функцию Ч?ар (а, р = 1, 2 —спиновые переменные 1-й и 2-й ча-

частиц) состоит в следующем: Yap = СЧ?ар = Ура, т. е. этот опе-

оператор переставляет спиновые переменные обеих частиц (задача

состоит в явном выражении оператора С через матрицы Паули),

5.24. Для системы из двух частиц со спином s = 1/2 найти

проекционные операторы Pssz на состояния с определенным зна-

значением суммарного спина S и его проекции Sz на ось г.

5.25. Найти собственные функции и собственные значения

следующих операторов:

а) V, = a (dl2 + Ъ2г) + fi0ie2;

б) i?2 = ol

Параметры о, Ь — вещественны, так что операторы V\,% —

эрмитовы

5.26. Спины Л' частиц, равные s каждый, складываются в

результирующий спин S = Ns. Каков суммарный спин любых

2; 3; ...; п частиц в указанном состоянии?

5.27. Спиновая функция системы из Л' частиц со спином

s = l/2 имеет вид

Mi),(i).-(i).GL. •¦¦«)„•

Найти в указанном состоянии среднее значение квадрата

суммарного спина системы частиц.

5.28. В условиях предыдущей задачи в частных случаях

п = 1 и п = N — I найти вероятности различных значений ве-

величины S суммарного спина системы частиц.

5.29. Состояние частицы со спином s = 1/2 характеризуется

определенными значениями квантовых чисел I, m, s*. Найти

в указанном состоянии вероятности различных значений пол-

полного момента j = 1 -J- s частицы.

5.30. Состояние некоторой системы характеризуется опреде-

определенными значениями квантовых чисел 7 (момент системы) и

/г = Л Найти вероятности различных значений проекции мо-

момента Jn на ось, направление которой в пространстве опреде-

определяется единичным вектором п.

5.31. Моменты двух слабо взаимодействующих подсистем,

равные I и 1/2, складываются в результирующий момент 7.

В следующих состояниях совокупной системы:

а) 7 = 3/2, /г=±1/2; б) 7=1/2, 7е= ±1/2

— найти вероятности различных значений проекций складывае-

складываемых моментов на ось г и их средние значения. При решении

задачи воспользоваться операторами /±.

5.32. Показать, что спиновая функция системы из N частиц

со спином s = 1/2, отвечающая состоянию с максимально воз-

43

можным значением S = N/2 суммарного спина, симметрична

по отношению к перестановке спиновых переменных любых

двух частиц.

Имеют ли определенную симметрию спиновые функции, от-

отвечающие другим значениям суммарного спина? Сравнить со

случаем N = 2.

5.33. В системе трех частиц со спином s = I /2 имеется во-

восемь различных спиновых состояний. Произвести классифика-

классификацию этих состояний по значениям суммарного спина системы.

Найти полную систему спиновых функций ^ss^ описываю-

описывающих состояния с определенными значениями S, Sz суммарного

спина.

5.34. Произвести классификацию спиновых состояний систе-

системы из четырех частиц со спином s = 1/2 по значениям суммар-

суммарного спина S системы.

5.35. Какие отличные от нуля средние значения мультиполь-

пых моментов (dt — электрического дисольного, |л, — магнитного

дипольного, Dm — электрического квздрупельного) может иметь

система, характеризующаяся определенным значением 7 полного

момента, равным;

а) 7 = 0; б) J = 1/2?

§ 2. Пространственные состояния частицы со спином

5.36. Состояния частицы с определенным значением проек-

проекции спина на направление импульса называют спиральными со-

состояниями. Для частицы со спином 5 = 1/2 найти волновые

функции Ур;, I, описывающие состояния с определенным им-

импульсом ро и спиральностью Я = ±1/2.

5.37. Указать вид оператора спиральности и показать, что

этот оператор коммутирует с оператором полного момента j =

=1 + s частицы.

5.38. Для частицы со спином s = 1/2 показать, что наиболее

общая спин-угловая зависимость волновой функции состояния

рч, частицы (т. е. состояния с орбитальным моментом / = I и

полным моментом / = 1/2) имеет вид

гдсх=(л1 — произвольный спинор, не зависящий от направ-

направления вектора п (п = т/г или п = р/р в зависимости от того,

какое представление — координатное или импульсное —исполь-

—используется).

Нормировать на единицу указанную волновую функцию.

Каково распределение по направлениям импульса частицы

в указанном состоянии? Сравнить со случаем sv.-c°cTt)«iiHH.

Вычислив среднее значение вектора суммарного момента ча-

частицы в рассматриваемом состоянии, выяснить, как j зависит от

конкретного выбора спинора х- Найти вид функций, опнсываю-

Щих состояния с определенным значением /z = ±l/2 проекции

полного момента на ось г.

5.39. Произвести анализ состояний частицы со спином s =

= 1/2, волновые функции которых имеют в импульсном пред-

представлении еннн-угловую зависимость вида

(спинор х = (?) не зависит от вектора п), по значениям сле-

следующих квантовых чисел, полного момента частицы /, орби-

орбитального /, четности, спиралыгости h

5.40. Для частицы со спином s = 1/2 показать, что наиболее

общая спин-угловая зависимость волновой функции состояния

рз/2 имеет вид

(произвольный вектор с и спинор X=(kJ |ie зависят от век-

вектора п).

При каком конкретном выборе компонент вектора с и спи-

спинора х указанная выше функция описывает рз^-состояние ча-

частицы с определенным значением /z = ±l/2, zh3/2 проекции

полного момента на ось г?

5.41. Для частицы со спином s = 1/2 найти спин-угловую

зависимость волновых функций хУщг состояний с определенны-

определенными значениями орбитального момента /. полного момента / и

проекции \г полного момента на ось г в случае / = /+ 1/2-

Зядачу предлагается решать следующими двумя способами:

о) используя проекционные операторы Р,;

6} используя повышающие (понижающие) операторы /±.

5.42. То же, что и в предыдущей задаче, но в случае

1*=1— 1/2.

5.43. Покачать, что функции Ч^, рассмотренные в двух

предыдущих задачах, связаны соотношением

V,tlU = im)V1Vj Л,2-/±1/2, n=f (или n=-jf).

Следствием этого соотношения является одинаковый вид

угловых распределений по направлениям импульса частицы в

состояниях с заданными значениями / и /« и различными зна-

значениями орбитальною момента 1\.ъ = / ± 1/2.

5.44. Для частицы со спином s = 1/2 найти спин-угловую за-

зависимость волновых функций WllzX (в импулвеном представле-

представлении), описывающих состояния частицы с определеннымн'значе-

Щями / полного момента, его проекции /г на ось г и спирячь-

ности К.

5.45. Для заряженной частицы со спином 5 = 1/2 найти

среднее значение вектора магнитного момента в состояниях

Оператор магнитного момента ji имеет вид

где Ци —спиновый магнитный момент частицы (для электрона

це = ~e0h/2mec, для протона цР = 2,79е0Н/2трс и т. д., е° > 0 —

величина заряда электрона), е — ее заряд.

Глава 6

ДВИЖЕНИЕ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ

§ I. Бесспшооая заряженная частица в магнитном поле

6.1. Показать, что при определенной калибровке векторного

потенциала гамильтониан заряженной частицы в магнитном

поле *)

можно представить в виде

Убедиться в эрмитооости гамильтониана.

6.2. Найти оператор скорости v заряженной частицы в маг

нитном поле. Установить коммутационные соотношения между

различными компонентами этого оператора [с",-, ?к] а также

J0i, **] ¦

6.3. Для заряженной частицы в постоянном однородном маг-

магнитном поле найти операторы координат центра орбиты ро по-

поперечного (перпендикулярного магнитному полю) движения,

квадрата радиуса-вектора этого центра р^ и квадрата радиуса

орбиты Рд.

Установить коммутационные соотношения для этих операто-

операторов друг с другом и с гамильтонианом.

6.4. Найти нормированные соответствующим образом волно-

волновые функции стационарных состояний и уровни энергии заря-

*) В задачах данной главы используется координатное представление, так

что А(г, *>*" А(г, /).

женной бесспиновой частицы в однородном магнитном поле при

следующих калибровках векторного потенциала

а) Ах = О, А„ = Жох, А* = 0;

б) А* = -ЗёеУ, А» = 0, Аг = 0.

6.5. Б предыдущей задаче были найдены дое полные системы

функции ^прург и 1%^Рг, описывающие стационарные состояния

заряженной частицы в однородном магнитном поле 3i0 при двух

различных калибровках векторного потенциала. Найти соотно-

соотношение между этими волновыми функциями.

6.6. Найти волновые функции стационарных состояний и со-

соответствующие иы уровни энергии заряженной бесспнновой ча*

стицы в однородном магнитном поле, используя следующую ка-

калибровку векторного потенциала: А =-|-[JH-ог]. Какова крат-

кратность вырождения энергетических уровней поперечного движе-

движения частицы? Нормируемы ли на единицу волновые функции

стационарных состояний поперечного движения?

6.7. Найти спектр собственных значений операторов квадра-

квадратов раднуса-вектора (% центра орбиты поперечного движения

и радиуса орбиты р| частицы в однородном магнитном поле

(см. 6.3).

Показать, что волновые функции x?nmPz стационарных со-

состояний частицы в однородном магнитном поле, найденные в

предыдущей задаче, являются собственными функциями этих

операторов.

6.8. Охарактеризовать поперечное пространственное распре-

распределение заряженной частицы в однородном магнитном поле в

стационарных состояниях л?Птрг (см. 6.§) в случае т~—-у^гп.

Специально обсудить случай /)>1 и произвести предельный

переход к классической механике.

6.9. То же, что и в предыдущей задаче, но при л=0. Спе-

Специально обсудить случай \т\ > 1.

6.10. В задачах 6.4 и 6.6 было установлено, что энергетиче-

энергетические уровни поперечного движения заряженной частицы в од-

однородном магнитном поле являются дискретными, причем соот-

соответствующие этим уровням собственные функции гамильтониа-

гамильтониана обладают интересным свойством: согласно 6.4 они не могут

быть нормированы на единицу (и таким образом, не описывают

частицу, локализованную в ограниченной области пространства),

а согласно 6.6 существуют стационарные состояния, в которых

частица локализована в ограниченной области пространства.

Объяснить указанное свойство собственных функций: воз-

возможность их выбора как нормируемыми, так и неиормируемыми

на единицу. Сравнить со случаем стационарных состояний дис-

дискретного спектра частицы в потенциальном поле ?/(г).

6.11. Найти уровни энергии и нормированные соответствую-

соответствующим образом волновые функции стационарных состояний за-

заряженной бесспиновой частицы, находящейся во взаимно пер-

перпендикулярных однородных магнитном и электрическом по-

полях.

6.12. Найти уровни энергии и нормированные волновые функ-

функции стационарных состояний заряженного сферического осцил-

осциллятора (заряженная частица в центральном поле (У(г)=Аг2/2),

находящегося в однородном магнитном поле.

В случае слабого магнитного поля найти магнитную вое

приимчивость осциллятора в основном состоянии.

6.13. То же, что и в предыдущей задаче, для плоского за--

ряженного ротатора (заряженная частица, совершающая дви-

жение в плоскости на заданном расстоянии а от некоторой точ-

ки)_ находящегося в однородном магнитном поле, перпендику-

перпендикулярном плоскости вращения.

6.14. Показать, что энергетический спектр поперечного движе-

движения заряженной бесспнновой частицы, находящейся в магнит-

магнитном поле соленоида (соленоид имеет бесконечную длину и кру-

круговое сечение, так что магнитное поле вне соленоида равно нулю,

а внутри—однородно и направлено вдоль его оси), является

непрерывным и магнитное поле не может «связать» частицу, т. е,

отсутствуют стационарные состояния, в которых частица лока-

локализована в поперечном направлении в ограниченной области

пространства.

В пределе, когда радиус соленоида R = то, получается одно-

однородное во всем пространстве магнитное поле, в котором спектр

поперечного движения частицы является дискретным и суще-

существуют локализованные стационарные состояния (см., например,

задачу 6.6). Объяснить,таким образом из непрерывного спектра

при Л! Ф оо получается дискретный спектр при R = оо.

6.15. Показать, что магнитное поле Ji(r), отличное от нуля

в ограниченной области пространства, не может «спяззть» заря-

заряженную бесспиновую частицу, т. е. не существует стационарных

состояний частицы, в которых она локализована в ограниченной

области пространства.

6.16- Как известно, в одномерном и двумерном случаях в лю-

любом поле притяжения у частицы всегда имеются состояния дис-

дискретного спектра, в которых она локализована в ограниченной

области пространства. В трехмерном случае таких состояний

может и не быть, если потенциальная яма достаточно «мелкая».

Показать, что при наличии в пространстве однородного маг-

магнитного поля у заряженной частицы в произвольном поле при-

притяжения U(r), удовлетворяющем условиям U(r)^0, ?/(r)->-0

при г~*оо, всегда имеются стационарные состояния, в которых

она локализована в ограниченной области пространства (и не

только в поперечном направлении!), т. е. что при наличии маг-

магнитного поля любая яма может «связать» частицу.

§ 2. Частица со слипом в магнитном поле

6-17. Найти волновые функции стационарных состояний и

соответствующие им энергетические уровни нейтральной части-

частицы, имеющей спин s = 1/2 и спиновый магнитный момент цо

(так что [1= (loo), в однородном магнитном поле.

6.18. Найти энергетические уровни и волновые функции ста-

стационарных состояний дискретного спектра поперечного движе-

движения нейтрона в магнитном поле соленоида.

6.19. Нейтрон находится в стационарном магнитном поле

вида

(цилиндрическая система координат). Свести задачу нахожде-

нахождения волновых функций стационарных состояний нейтрона и со-

соответствующих им энергетических уровней к решению одномер-

одномерного волнового уравнения.

6.20. В полупространстве х >¦ 0 имеется однородное магнит-

яое поле вида Шх^=Жу~ 0, Жг = Шъ. В области х < 0 маг-

нитное поле отсутствует. Найти коэффициент отражения поля-

поляризованных нейтронов (т. е. нейтронов с определенным значе-

значением проекции спина на ось г) от поверхности раздела.

Рассмотреть случаи падения нейтрона как из области про-

пространства, где имеется магнитное поле, так и из области, сво-

свободной от магнитного поля. Найти соотношения между углами

падения, отражения и преломления. Падающие нейтроны имеют

определенный импульс р.

6.21. Найти волновые функции стационарных состояний и

уровни энергии заряженной частицы со спином s = 1/2 и маг-

магнитным моментом |.1о s однородном магнитном поле. Сравнить

с результатами задач 6.4 и 6.6.

6.22. Показать, что гамильтониан Паули для электрона

(а также и для ц-мезсна) в электромагнитном поле может быть

представлен в виде

Справедливо ли указанное представление гамильтониапа для

других частиц со спином s = 1/2 (протона, нейтрона и т. п.)?

6.23. Показать, что при движении электрона в стационарном

магнитном поле проекция спина на направление скорости элек-

электрона является интегралом движения.

Сохраняется ли утверждение задачи для произвольной ча-

частицы со спином s = 1/2?

6.24. Показать, что магнитное поле 31(г), отличное от нуля

в ограниченной области пространства, не может «связать» элек-

электрон, г. е. не существует стационарных состояний электрона;

52

в которых он локализован в ограниченной области пространства

(сравнить с 6 15).

Сохраняется ли утверждение задачи для других частиц со

спином s = 1/2?

§ 3. Магнитное поле орбитальных токов и спинового

магнитного монета

6.25. Найти среднее магнитное поле [email protected]), создаваемое в на-

начале координат заряженной бесеппновой частицей, находящейся

в KjvioKOBCKOii поле ядра V = —Ze%fr в Is- и 2р-состояниях.

6.26. В условиях предыдущей задачи найти матричные эле-

ыеиты оператора магнитного момента частицы между различ-

различными состояниями, относящимися к уровню энергии с главным

квантовым числом п = 2.

6.27. Установить соотношение между средними значениями

векторов орбитального момента I и магнитного момента ji для

заряженной бесспиновой частицы, находящейся в магнитном

поле.

Показать, что найденное соотношение не противоречит ка-

калибровочной инвариантности.

E.28. Найти компоненты плотности тока для заряженной бес-

сшпювой частицы, находящейся в однородном магнитном поле

Г( СТацНОНарНОМ СОСТОЯНИИ Wnmpz (СМ.. 6.6).

6.29. Найти компоненты плотности тока для заряженной ча-

частицы со спином s == 1/2 и магнитным моментом A0, находя-

находящейся в однородном магнитном поле в стационарном состоя-

состоянии Wnmp^sz (см. задачу 6.21 и сравнить с результатом преды-

предыдущей).

6.30. Электрон находится в кулоновском поле ядра с зарядом

Ze в основном состоянии. Найти среднее магнитное поле, созда-

создаваемое электроном в пространстве.

6.31. Найти среднее магнитное поле, создаваемое в начале ко-

координат частицей со спином s = 1/2 и магнитным моментом щ,

находящейся в стационарном s-состоянии в центральном поле.

Глава 7

ИЗМЕНЕНИЕ СОСТОЯНИЯ ВО ВРЕМЕНИ

§ 1. Бесспиновые частицы

7.1. Вывести правило дифференцирования по времени произ-

произведения двух операторов.

7.2. Найти вид оператора скорости v = r заряженной бесспи-

ковой частицы, находящейся в произвольном электромагнитном

иоле. Сравнить с 6.2.

7.3. Найти оператор ускорения w = v заряжетшой частицы в

электромагнитном поле.

7.4. Показать, что среднее значение производной по времени

физической величины, не зависящей явно от времени, в стациб*

нарном состоянии дискретного спектра равно нулю.

7.5. Показать, что среднее значение силы, действующей на

частицу в стационарном состоянии дискретного спектра, равно

нулю.

Задачу предлагается решить двумя способами:

с) используя результат предыдущей задачи; б) непосред-

непосредственно усредняя оператор силы.

7.6. Доказать теорему вириала в квантовой механике.

Задачу предлагается решить тремя способами:

а) усреднением оператора d(pr)/dt (аналогично тому, как

эта теорема доказывается в классической механике);

б) используя экстремальные свойства собственных значений

оператора Гамильтона (энергетических уровней системы) и рас-

рассматривая масштабное преобразование волновых функций ста-

стационарных состояний системы;

е) используя результат задачи 1.28.

7.7. Показать, что для системы N заряженных частиц, дви*

жущнхся в ограниченной области пространства, справедливо

равенство (так называемое «правило сумм»; см. также 14.18)

(/=1,2,3),

где \dt)nm~-матричные элементы дипольного момента системы,

суммирование проводится по всем стационарным состояниям си-

системы, ц и е — масса и заряд каждой частицы.

7.8. Обсудить вопрос о сохранении нормировки волновой

функции состояния (в интегральной в локальной форме) части-

частицы в случае, когда ее взаимодействие с внешним полем описы-

описывается нелокальным эрмитовым потенциалом, т. е. когда опера-

оператор потенциальной энергии (в координатном представлении)

является интегральным оператором с ядром ?/(г,г');

&? (г) = J U (г, г') ? (f) dV.

Сравнить с обычным случаем локального потенциала &==

7.9. Рассмотреть уравнение Шредингера, в котором потен-

потенциальная энергия является комплексной функцией: (/(г) =

= ?/o(r)+i?/i(r); Vo, U\ — вещественные функции (так назы-

называемый оптический потенциал).

Выяснить, сохраняется ли во времени нормировка волновой

функции при движении частицы в таком поле. Изменение со вре-

Б4

менем нормировки волновой функции состояния можно интер-

интерпретировать как поглощение (или рождение) частиц во внешнем

поле. Как связан знак мнимой части потенциала с характером

такого процесса?

7.10. Состояние частицы, находящейся в бесконечно глубокой

прямоугольной потенциальной яме ширины a @<Zx<Za), в

начальный момент времени имеет вид

Найти волновую функцию в произвольный момент времени.

Показать, что через некоторое время Т частица возвращается

в исходное состояние.

7.11, Как изменяется во времени состояние плоского ротато-

ротатора, если в начальный момент (/ = 0) оно описывалось волно-

волновой функцией

7.12. Пространственный ротатор при ( = 0 находится в со-

состоянии, описываемом волновой функцией Ч? = A cos2 6. Найти

волновую функцию ротатора в произвольный момент времени.

7.13. Состояние свободной частицы в момент времени t ~ О

описывается волновой функцией вида

Найти изменение состояния частицы во времени и следую-

следующие средние: *(*), p(t). Х&кA)У. .(ДР(О)8 (см- также зада-

7.14. В условиях предыдущей задачи показать, что ширина

волнового пакета (Дк(/)J в момент времени t независимо от

параметров, определяющих волновую функцию частицы при

t = 0, не может быть произвольно малой.

7.15. Рассмотрим при /=0 нормированный волновой пакет

составленный из собственных функций We(x)' гамильтониана ча-

частицы, отвечающих энергетическим уровням Е непрерывного

спектра.

Показать, что в рассматриваемом состоянии плотность ве-

вероятности нахождения частицы в любой фиксированной точке

пространства при t-тоо стремится к нулю (это обстоятельство

не противоречит сохранению нормировки волновой функции, так

как одновременно с уменьшением плотности вероятности увели-

увеличивается ширина пакета —пакет расплывается).

7.16. Состояние частицы в поле 6-функшюниой ямы (см. 2.11)'

в начальный момент времени описывается волновой функцией

W(x,t = C) = Aexp(-fi\xl), P>0.

Какова вероятность обнаружить частицу на отрезке

(х, x + dx) при /-»-оо? Найти значение интеграла

и сравнить его с первоначальным значением. Объяснить полу-

полученный результат,

7.17. Состояние свободной частицы в момент времени / = 0

описывается нормированной волновой функцией *Ро(х) (при

этом волновая функция Ф0(р) в импульсном представлении так-

также считается известной). Найти асимптотическое поведение

волновой функции W(x,t) при t-*-oo. Убедиться в сохранении

нормировки волновой функции.

Б качестве иллюстрации полученного результата рассмотреть

при t-^-oo вид волнового пакета, обсуждавшегося в 7.13.

7.18. Гармонический осциллятор при / = 0 находится в со-

состоянии, описываемом волновой функцией вида

где а =(П/т<и)'р. Найти изменениесостояния осциллятора во

времени и следующие средние: х((), p(f), (Ajc{t))a, ,{Ap(t)J

(см. также 7.36).

7.19. Найти временную функцию Грина G(x, t; x1, ?) для сво-

свободной частицы. Эта функция удовлетворяет уравнению Шре-

Дингера (по переменным х, t) и при t = f равна б(х— хг),

С помощью найденной функции Грина решить задачу 7,13.

Обобщить полученный результат на случай свободного дви-

движения частицы в пространстве, т. е. найти функцию Грина

G(r,t;Tr,f).

7.20. Найти временную функцию Грина G(p, t;pr, t') свобод-

свободной частицы в импульсном представлении.

7.21. Найти временную функцию Грина в случае свободного

двюкения частицы на полуоси, т. е. в поле

tfW =

x>0,

x<0.

7.22. На непроницаемую стенку, описываемую потенциалом

предыдущей задачи, падает волновой пакет, имеющий при / = О

вид

feS^Tsor0' ">а-так что мокн°статать

3уяРтрм»ТР?ТЬ °тРажевие волнового пакета от стенки, исполь-

лаче УЮ ФУ"™™ ГРина, найденную в предыдущей за-

_ 7.23 ДЛ„ частицы, находящейся в однородном поле ЩхУ=.

ставлига ременную функцию Грина в импульсном пред-

7.24. Длячастацы, находящейся в однородном поле U(x)—

предсгавлеГ™ ВРШеШуЮ *1НКЩЮ ГР™а в координатном

волн1™пС;'ЬЗУЯ Пол>'ченный Результат, рассмотреть расплывание

волнового пакета, имеющего при / == 0 вид

¦С (х, t = 0) = Аехр[А? _.<i=2s>:].

оспшлятора^" "Р™6™*10 Ф>»КЦИЮ Грина гармонического

зов^нит г^™" ylfflTaPHblil оператор, соответствующий преобра-

отсчётТ те Я| Т" е' ""^«ИУ в новую инерщальную систему

относите^ МЯ " "нваРнштности уравнения Шредннгера

шносительыо этого преобразования

части™'?"™'1610'1 "РИ ЭТОМ нреобразованш. волновая функция

частицы в координатном и импульсном предстаалшиях?

вочн'™! ? у|штаРный оператор, соответствующий калибро-

V6 "™У пРеоСРаз°ванию потенциалов электромагаитного поля.

ГХёГ™"" УРЫ"™ ШеД

.шГоХёобраГв

систем Как."еобх°Димо преобразовать оператор Гамильтона

от впемр„„ "Р" ^"итарноил преобразовании, зависящем явно

нить г ?Л Уравюние ШРИЧшгера сохраняло свой вид? Срав-

"анике. КаНонтескими преобразованиями в классической ме-

гоп^п9' На"Г" ОПеРат°Ры коордннаты и импульса в гейзенбер-

гейзенберговском представлении для свободной частицы

задачу предлагается решить двумя способами-

пят™ "с"олы>'я Унитарное преобразование, связывающее оие-

%ФГКеЛтИ' ° гайзе»СеР™^™ » шр^.-геров

гайЭн?^0^6*™™"™ Решек«Ем уравнений движения ддя

гейзенберговских операторов.

7.30. То же, что и в предыдущей задаче, для частицы нгхо-

дященея в однородном поле U(x)= -Рл

TBB«n«2Z Ж"' ЧТ° " " двух "Р'ЛЫДУШИХ задачах, для линейного

гармонического осциллятора.

ПРЯЛ""°Й ™c™ub" находящй

эовзться калибровкой векторного потенциала вида А =

= @, Жъх, 0) (магнитное поле направлено вдоль оси z),

Задачу предлагается решить двумя способами, указанными

в условии 7.29.

7.33. Исходя из уравнений движения для гайзенберговских

операторов, показать, что [pt @. Zk (/)] = -j Ь1Ь.

7.34. Найти значение «разновременного» коммутатора

Ш0*(П] Д

Ш0(П] Д

о) свободной частицы; б) частицы в однородном поле}

е) осциллятора.

7.35. Для систем, рассмотренных в 7.29—7.31, найти гамиль-

гамильтониан /?(() и сравнить с ЙA =0).

7.36. Используя вид гайзенберговских операторов p(Q, x(t)\

иайти зависимость от времени следующих средних: х((), р((),

L&x(t)J, (Ар(О)8-Для

а) свободной частицы; б) частицы в однородном поле;

в) осциллятора

в состоянии, описываемом волновой функцией вида

7-37. Гамильтониан системы имеет вид Я = /?0 -\- Р, где «не-

возмущеяный» гамильтониай /?о не зависит явно от времени.

Рассмотреть унитарное преобразование от шредннгеровского

представления к новому, так называемому представлению

взаимодействия, осуществляемое унитарным оператором О =

¦=е*р(г7?с</Й) (при Р = 0 это преобразование описывает пере-

переход к гейзенберговскому представлению).

Какова связь между операторами физических величин в шре-

дингеровском представлении и представлении взаимодействия?

Как изменяются во времени операторы и волновая функция си-

системы в представлении взаимодействия?

7.38. Найти вид операторов координаты и импульса, а также

вид волнового уравнения в представлении взаимодействия для

частицы в однородном поле, выбрав в качестве невозмущенного

гамильтониана оператор Гамильтона свободной частицы.

7.39. То же, что и в предыдущей задаче, для осциллятора.

§ 2. Частицы со спином

7.40. Найти операторы скорости v и ускорения w (в шредни-

геровском представлении) нейтральной частицы с отличным от

вуля спиновым магнитным моментом (например, нейтрона), на-

находящейся в магнитном поле,

7.41. Найти зависимость от времени спиновой волновой функ-

функции и средних значений компонент спина нейтральной частицы

со спином s = 1/2 и магнитным моментом ц, находящейся в од-

однородном стационарном магнитном поле.

7.42- Обобщить результат предыдущей задачи на случай од-

однородного нестационарного магнитного поли, направление ко-

которого остается неизменным, т. е. 31A) = Ж-A)Во.

7.43. Показать, что при движении заряженной частицы с от-

отличными от нуля спином и спиновым магнитным моментом в

однородном, переменном во времени магнитном поле ЗЦ() (и

произвольном электрическом) зависимость волновой функции

частицы от спиновых и пространственных переменных разде-

разделяется.

7.44. Частица со спнном s = 1/2 и магнитным моментом ц

находится в однородном магнитном поле 31 (t) вида

где Жо, <%?i, wo — постоянные величины.

При t = 0 частица находилась в состоянии с проекцией спи-

спина на ось г, равной sz ~ 1/2. Найти вероятности различных

значений проекции спина на ось г в момент времени t. Обсу-

Обсудить, в частности, случай, когда |^0/^i|< l; обратить внима-

внимание на резонансный характер зависимости вероятности «перево-

«переворота» спина от частоты ©о в этом случае.

7.45. Для частицы со спином 5= 1/2 в магнитным моментом

ц, находящейся в однородном стационарном магнитном поле,

найти операторы вектора спина s(() в гейзенберговском пред-

представлении.

Задачу предлагается решить двумя способами:

о) используя унитарное преобразование, связывающее опе-

операторы физических величин в гайэенберговскоч и шредингеров-

ском представлениях;

б) непосредственным решением уравнений движения для

гайзенберговских операторов.

Определить зависимость от времени средних значений ком-

компонент спина (сравнить с 7.41).

7.46. То же, что и в предыдущей задаче, в случае однород-

однородного нестационарного магнитного поля, направление которого

остается неизменным,

7.47. Решить задачу 7.44, используя представление взаимо-

взаимодействия (см., например, 7.37) и выбрав в качестве невозму-

невозмущенного гамильтониана

7.48. Частица со спином s = 1/2 и магнитным моментом ц

находится в однородном стационарном магнитном поле вида

Илуя представление взаимодействия (см., напр

мер, 7.37) с невоэмущенмым спиновым гамильтонианом /?о

= —уЖл ог, найти вероятности различных значений проекции

спина на ось г в момент времени t, если при (=0 проекция

спина частицы на ось г равна sz = 1/2.

7.49. В условиях задачи 7.41 найти временную спиновую

функцию Грина GaB((,O частицы (индексы а, ?, = 1, 2 описы-

описывают спиновую переменную, т. е. a, P — спинорные индексы),

7.50. То же в условиях задачи 7.42.

7.51. Для нейтральной частицы со спином s = 1/2 и магнит-

магнитным моментом |д, находящейся в однородном стационарном

магнитно^ поле, найти временную функцию Грина Gop(r, t\ г', if)

(a, p~спиновые переменные).

7.52. Обобщить результат предыдущей задачи на случаи

однородного нестационарного магнитного поля, направление

которого остается неизменным, т. е. ЗЦ0 Зё@

Глава 8

ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ.

ВНЕЗАПНЫЕ И АДИАБАТИЧЕСКИЕ ВОЗДЕЙСТВИЯ

§ 1. Стационарная теория возмущений

8.1. Для частицы, находящейся

тенциальной яме ширины о @

в бесконечно глубокой по-

пох < а), найти в первом

в~в а я

порядке теории возмущений смещение энергетических уровней

под действием возмущения вида (рис. 16):

Указать условия применимости полученного результата.

8.2. Показать, что поправка первого порядка ?« к энергети-

энергетическим уровням частицы из предыдущей задачи для произволь-

произвольного возмущения У(ж)_ при достаточно больших значениях п не

зависит от п.

8.3. На заряженпый линейный осциллятор наложено одно-

однородное электрическое поле 6, направленное вдоль оси колеба-

колебаний. Рассматривая действие электрического поля как возмуще-

возмущение, рассчитать в первых двух порядках теории возмущений

сдвиг энергетических уровней осциллятора. Полученный резуль-

результат сравнить с точным решением (см. 2.6).

8.4. Представим гамильтониан осциллятора в виде

kx* , ах"

Рассматривая формально слагаемое а.х^/2 как возмущение, рас-

рассчитать в первых двух порядках теории возмущений сдвиг энер-

энергетических уровней осциллятора. Ответ сравнить с точным ре-

решением. Каково условие сходимости ряда теории возмущений?

8.5. На частицу в бесконечно глубокой потенциальной яме

ширины а @ < х < а) наложено возмущение вида

Рассчитать изменение энергетических уровней частицы в

первых двух порядках теории возмущений.

8.6. В условиях предыдущей задачи найти поправку третьего

порядка к энергии основного состояния частицы.

8.7. Найтн в первых двух порядках теории возмущений сдвиг

энергетических уровней частицы в условиях задачи 8.1 под дей-

действием возмущения V(x) = ab(x—о/2). Указать условия при-

применимости полученного результата.

8.8. Как известно, приближенное вычисление собственных

функций гамильтониана по теории возмущений в первом поряд-

порядке приводит к выражению вида

а значение коэффициента с^ остается неопределенным (и обыч-

обычно выбирается равным нулю: cJj1j> = 0).

Объяснить происхождение этой неопределенности в значении

Cnl- Сохраняется ли подобная неопределенность при вычисле-

вычислении cJp} в высших порядках теории возмущений?

8.9. Плоский ротатор с моментом инерции / и электрическим

дипольным моментом d помещен в однородное электрическое

поле Ej, лежащее в плоскости вращения. Рассматривая дей-

действие поля как возмущение, нанги поляризуемость основного

состояния ротатора.

8.10. В условиях предыдущей задачи найти в первых двух

порядках теории возмущений сдвиг н расщепление энергетиче-

энергетических уровней возбужденных состояний ротатора. Указать пра-

правильные функции нулевого приближения. Специально обсудить

случаи первого возбужденного уровня.

8.11. Пространственный ротатор с моментом инерции / и

дипольным моментом d, параллельным оси ротатора, помещен

в однородное электрическое поле So, рассматриваемое как воз-

возмущение. Найтн поляризуемость основного состояния ротатора.

8.12. В условиях предыдущей задачи рассчитать в первом

неисчезающем порядке теории возмущений сдвиг энергетических

уровней возбужденных состояний ротатора. Каков при этом ха-

характер святия вырождения уровней? Происходит ли в высших

порядках теории возмущений дальнейшее снятие вырождения?

8.13. Найти расщепление первого возбужденного уровня

энергии плоского гармонического осциллятора под действием

возмущения вида V = axy (плоскость х, [/ — плоскость колеба-

колебаний) в первом порядке теории возмущений. Указать правиль-

правильные функции нулевого приближения. Сравнить с точным ре-

решением.

8.14. То же, что и в предыдущей задаче, для второго воз-

возбужденного уровня энергии осциллятора.

8.15. Частица находится внутри непроницаемого эллипсоида

вращения, т. е.

причем (о — 6|-Со. Найти в первом порядке теории возмуще-

возмущений сдвиг энергетического уровня основного состояния частицы

по отношению к уровню частицы в сферической яме такого же

объема, как и у эллипсоида.

8.16. Обобщить результат предыдущей задачи на случай воз-

возбужденных состояний частицы. Обсудить вопрос с характере

снятия вырождения по проекциям момента частицы в первом и

высших порядках теории возмущений.

8.17. Частица находится в центральном поле вида

17 М— ехр<гМ)-1 '

причем ma3i/c/ll2 ^> ]. В первом порядке теории возмущений

найти отличие энергетических уровней нижней части спектра от

уровней энергии в кулоновском поле G(r) =—V^ajr. Обратить

внимание на святие «случайного» кулоновского вырождения

уровней. Указать условие применимости полученного результата.

8.18. То же, что и в предыдущей задаче, для потенциала

Юкавы f/(r) = —aexp(—г/а)/г при условии maa/he^> I,

8.19. Найти приближенный вид волновых функций стацио-

стационарных состоянии и энергетические уровни нижней части спект*

ра плоского ротатора, имеющего дипсльный момент d, в силы

ном электрическом поле gD, таком, что Id&o/h2 > 1. Указать

условие применимости результата. [

8.20. Для частицы, находящейся в центральном поле вида

Lf(r)=~a/rp, 0<p<2,

найти энергетические уровни Enrt дискретного спектра с боль-

большим значением момента / ^> 1 (и не слишком большим значе*

нием радиального квантового числа пг). Указать условие при*

менимости полученного результата. В случае кулоновского поля

{р = 1) сравнить с точным решением задачи.

8.21. Найти энергетические уровни «поперечного» движения

заряженной частицы в поле бесконечной однородно заряженной,

нити при больших значениях проекции момента частицы на на-

направление нити. Указать условия применимости полученного

результата.

8.22. Основываясь на результатах задач 2.57 и 2.59, в кото-

которых была установлена интегральная форма уравнения Шредин-

гера и для коэффициентов отражения и прохождения частиц

получены выражения через значения волновой функции в обла-

области действия потенциала, обсудить возможность вычисления

этих коэффициентов по теории возмущений (в первом порядке).

Указать условия применимости проведенного рассмотрения.

Сравнить с результатом 8.37.

Применить полученный результат к полю О(х), допускаю-

допускающему точное решение задачи (например, 2.47, 2.48, 2.52).

§ 2. Нестационарная теория возмущений.

Перехоцы в непрерывном спектре

8.23. На частицу, находящуюся при /->—оо в основном со-

состоянии в бесконечно глубокой яме шириной о, накладывается

слабое однородное поле, изменяющееся во времени по закону:

б) V(x,Q=-Jtfcexp(-|f|/T);

в) V(*,0=-*V[l+(r/T)s]-

Вычислить в первом порядке теории возмущений вероятно-

вероятности возбуждения различных состояний частицы при /-»-«>. Ука-

Указать условия применимости полученных результатов.

8.24. Линейный осциллятор подвергается воздействию одно-

однородного электрического поля, изменяющегося во времен» по

закону:

а) &(O=#atspt-(tM*f,

б) #(<) = Лехр(-И/т).

Считая, что до включения поля (при /->—то) осциллятор

находился в я-м стационарном состоянии, иайти в нервом по-

рядке теории возмущений вероятности возбуждения различных

его состояний при /-*-оо.

8.25, Решить предыдущую задачу для поля, изменяющегося

по закону

1

при заданием импульсе силы Pq. Обсудить предельные случаи

©т < 1 и ют > 1.

8-26. На плоский ротатор, имеющий дипольный момент d,

накладывается однородное, переменное во времени электриче-

электрическое поле Б(/) =:/(/)Бо. До включения поля ротатор имел опре-

определенное значение т проекции момента. Вычислить в первом

порядке теории возмущений вероятности различных значений

проекции момента и энергии ротатора при /-»-оо. Рассмотреть

конкретные зависимости $*(/) вида, указанного в условии за-

задачи 8 24.

8.27. Решить задачу, аналогичную предыдущей, для простран-

пространственного ротатора, дипольный момент которого параллелен его

оси. До включения поля ротатор находился в состоянии с кван-

квантовыми числами /, lz = tn; электрическое поле направлено вдоль

оси г.

8.28. Получить выражение для амплитуды перехода системы

из начального (при t-*—оо) n-го состояния дискретного спект-

спектра в конечное (при /-»-+оо) k-e во втором порядке нестацио-

нестационарной теории возмущений. Предполагается, что возмущение

при /-> +оо равно нулю.

8.29. Как известно, применение нестационарной теории воз-

возмущений к расчет\г вероятностей перехода системы из началь-

начального п-ro состояния в конечное k-e в первом порядке приводит

к амплитудам перехода, равным

°"«ю1-Т J Vm(t)dt.

Величина Wn = jc™]2 представляет вероятность системе

остаться в первоначальном состоянии. Если воспользоваться

приведенным выше выражением для амплитуды а„„, то полу-

получится Wn > 1, что противоречит сохранению нормировки волно-

волновой функции состояния. Объяснить возникающий парадокс и

получить закон сохранения нормировки волновой функции со-

состояния с учетом переходов в первом порядке теории возму-

возмущений.

8.30. В условиях задачи 8.24 найти во втором порядке тео-

теории возмущений вероятности переходов осциллятора, запрещен-

64

ных б первом порядке*). Сравнить вероятности W'fn-*-« ± 2)"

8.31. На плоский ротатор, имеющий дипольный момент d и

находящийся в основном состоянии, накладывается слабое од-

однородное электрическое поле ?(/)=з $?(/)по, лежащее в плоско-

плоскости вращения ротатора и изменяющееся во времени по закону

#/rt = /°' t<0-

W 1#оехр(-//т), />а

Найти во втором порядке нестационарной теории возмущений

вероятности переходов ротатора (при *->оо), запрещенных в

первом порядке. Сравнить со значениями вероятностей переко-

перекодов, разрешенных в первом порядке теории возмущений.

8.32. То же, что и в предыдущей задаче, но для простран-

пространственного ротатора, находящегося до включения поля в основ-

основном состоянии (см. также 8.27).

8.33. На систему, находящуюся при t < 0 в о-м стационар-

стационарном состоянии дискретного спектра гамильтониана #о, при

* >0 накладывается возмущение вида V (/)= Posin aot, где

V!o от времени не зависит. Найти волновую функцию системы

при />0в первом порядке теории возмущений. Указать усло-

условия применимости рассмотрения. Специально обсудить случай,

когда частота возмущения ш0 близка к одной из частот перехода

о™ = (?¦<?>—fwyft (ft-e состояние также относится к дискрет-

дискретному спектру гамильтониана йо).

8.34. На систему, находящуюся при (->— оо в «гм стацио-

стационарном состоянии дискретного спектра гамильтониана /?о, отно-

относящемся к двукратно вырожденному уровню ?{?, накладывается

возмущение вида 9=P^(t), где Ро от времени не зависит,

1fl^ 1. /@-*-° при t-*-— от. Найти волновую функцию системы

в «нулевом» приближении в произвольный момент времени. Для

простоты считать, что матричные элементы возмущения обла-

обладают свойствами

Я|, «а — Два независимых состояния, относящихся к двукратно

вырожденному уровню ?{? невозмущенного гамильтониана й0.

При выполнении какого условия для вычисления волновой

функции *P(t) в первом порядке теории возмущений можно

использовать стандартный подход, изложенный, например, в ре-

решении задачи 8.28?

8.35. На частицу, находящуюся при f<0 в основной со-

состоянии в поле U{x)^=,^a&(x) (см. 2.11), при *>0 наклады-

накладывается слабое однородное пале вида V(x,t) = -^xF0&\titoat,

•) То есть танкх переходов, для которых W<l>(n-*-k) =¦ 0,

3 В, М, Гялицкий в др. м

Найти вероятность WD(t) того, что частица к моменту t останет-

останется связанной в поле ямы. Считать ftwo> |?c| (|?о|—энергия

связи частицы; для частиц с энергией Е Э> \Ев\ действие потен-

потенциала можно рассматривать как возмущение, см. 8.22 и 8.37),

8.38. Решить предыдущую задачу при произвольной часто-

частоте соо возмущения. Может ли частица «покинуть» яму, если

Лшо<|?о|?

8.37. Частича находится в одномерном поле U(x); U(x)-*-0

при а*-»-±оо. Рассматривая действие поля как возмущение, най-

найти коэффициенты отражения и прохождения частиц с энергией Е

с помощью теории возмущений в непрерывном спектре. Указать

условия применимости рассмотрения. Сравнить с результатом

задачи 8.22.

§ 3. Внезапные воздействия

8.38. В рамках нестационарной теории возмущений получить

выражения для вероятностей переходов системы под действием

возмущений, характеризующихся следующей временной зави-

зависимостью:

а) мгновенное включение: Р(/)= Vtf\(t), т. е.

„ ГО, / < О,

/ > 0 [Vq от Бремени не зависит);

б) «импульсное» действие: V(f) = №о5(/).

Каково условие применимости полученных выражений, если

включение (и выключение в случае б)) возмущения происходит

не мгновенно, а за конечное время т?

8.39. Система, описываемая гамильтонианом йс, находится

в п-м стационарном состоянии дискретного спектра. При / = 0

гамильтониан системы внезапно изменяется и становится рав-

ным (при />0) Я = Я0+ Vo Фо, Vq от времени не зависят).

Найти вероятности различных стационарных состояний системы

при t ~> 0. В случае малого возмущения Ро сравнить с резуль-

результатом предыдущей задачи.

8.40. Гамильтониан системы имеет вид Й = Йо+ Wc8(t)t

При t <С0 система находилась в n-м стационарном состоянии

дискретного спектра. Найти вероятности различных стационар-

стационарных состояний системы при i > 0. Для слабого возмущения

V t= й?об(/) сравнить с результатом задачи 8.38.

Для случая VP'o = — xPQ дать наглядную интерпретацию по-

полученного результата.

8.41. Частица находится в основном состоянии в бесконечно

глубокой потенциальной яме шириной а @<л<а). В не-

некоторый момент времени правая стенка ямы за короткий ин-

интервал времени т смещается в точку Ь (Ь > а). Найти вероят-

вероятности возбуждения различных стационарных состояний частицы

после остановки стенки. Указать условия применимости полу-

полученных результатов. Рассмотреть случай Ь = 2а.

8.42. Частица находится в основном состоянии в мелкой пря-

прямоугольной потенциальной яме шириной с. Внезапно ширина

ямы изменяется до значения b ~ а, глубина ямы при этом не

изменяется. Какова вероятность того, что при этом частица по-

покинет яму? Кокова средняя энергия частицы, покидающей яму?

8.43. Решить задачу типа предыдущей в случае, когда вне-

внезапно изменяется в п раз (п ~ 1) потенциальная энергия, т. е.

глубина ямы, а ширина ямы остается неизменной.

8.44. Частица находится в основном состоянии в С-функцион-

ной яме, т. е. U(x)=*~ab(x). Внезапно параметр а, характе-

характеризующий «глубину» ямы, изменяется и становится равным а

Найти распределение по импульсам частиц, покидающих яму в

результате такого процесса. Считать, что волновые функции не-

непрерывного спектра можно аппроксимировать плоскими вол-

волнами. Указать условия применимости полученного результата.

8.45. Частица находится в основном состоянии в поле U(x)=-

=¦ —«5 (х). При t =0 яма начинает двигаться со скоростью V,

Найти вероятность того, что яма увлечет частицу за собой.

8.46. На заряженный осциллятор, находящийся в основном

состоянии, внезапно накладывается однородное электрическое

поле, направленное вдоль оси колебаний. Найти вероятности

возбуждения различных состояний осциллятора восле включе-

включения поля.

8.47. У линейного осциллятора, находящегося в основном со-

состоянии, в момент времени / = 0 «точка подвеса» начинает дви-

двигаться с постоянной скоростью V. Найтя вероятности возбужде-

возбуждения различных состояний осциллятора при t > 0.

§ 4. Адиабатическое приближение

а) Адиабатическое приближение в нестационарных задачах.

8.4$. Гамильтониан B(p,q, &(/)) некоторой системы, совер-

совершающей одномерное финитное движение*), явно зависит от

времени. Для каждого момента времени t предполагаются из-

известными спектр собственных значений En(t) «мгновенного» га-

гамильтониана и полная система соответствующих ортонормиро-

ванных собственных функций *?n(q, t).

Записать волновое уравнение для системы в представлении,

базисом которого является система функций Wn(q, t).

8.49. Гамильтониан системы, охарактеризованной в предыду-

предыдущей задаче, является медленно меняющейся функцией времени t.

Предполагая систему находящейся прн t = 0 в n-м квантовом

*) Ограничение одномерными системами, используемое в задачах В.48

В 8.49, не является принципиальным, н рассмотрение, проведенное в этих за-

задачах, может быть обобщено на системы с несколькими степенями свободы.

состоянии, найти се велновую функцию при / i> 0 в первом по-*

рядке адиабатической теории возмущений и указать условия

применимости результата.

8.50. На заряженный осциллятор, находящийся при t-*-—оо

в основном состоянии, накладывается однородное электрическое

поле вида:

а) #(/)=#оехр(-|'1/т);

Найти вероятности возбуждевия различных состояний осцилля-

осциллятора при / Ьоо в первом порядке адиабатической теории воз-

возмущений. Указать условия применимости полученных резуль-

результатов.

8.51. На плоский ротатор, имеющий дипольный момент d и

находящийся в основном состоянии, при t > 0 накладывается

однородное электрическое поле вида ?(/) = #(Опо, где &A) =

= So[l —ехр(—//т)|. Найти функцию распределения по проек-

проекциям момента ротатора при /—*-ьоо в случае d&dl'&b*, но

rf$Vs ¦< тТг3 (сильное медленно включаемое поле).

8.52. Частица находится в поле двух в-функционных ям

При t-*-—оо ямы находились на бесконечно большом расстоя-

расстоянии друг от друга и частица была связана одной из ям. Рас-

Расстояние между ямами ?(/) медленно уменьшается и в некото-

некоторый момент времени Т ямы «сливаются» в одну: U{x) =

s=s—2<хб(лг). Какова вероятность того, что при этом частица

останется в связанном состоянии?

б) Адиабатическое приближение в стационарных задачах.

8.63. Гамильтониан системы, состоящей из двух подсистем,

имеет вид

где х, ?—координаты 1-й и 2-й подсистем-, 1^(^,1) описывает

взаимодействие между ними. Считая, что характерные частоты

1-й («быстрой») подсистемы много больше характерных частот

2-ii («медленной»), свести задачу приближенного вычисления

энергетических уровней и соответствующих им волновых функ-

функций совокупной системы к решению уравнений Шредингера для

отдельных подсистем.

8.54. Частица находится в двумерном поле U(x,y) вида

JO, -^Th-f^l.

Х'? \оо. г? + ?>1.

причем Ь > «. Найти энергетические уровни нижней частя

спектра и соответствующие им волновые функции.

8.55. Частица находится внутри непроницаемого эллипсоида

вращения, т. е,

V{x,

причем Ь <? а (скльно сплюснутый эллипсоид). Найти энерге-

энергетические уровни нижней части спектра и соответствующие им

волновые функции.

8.56. То же, что и в предыдущей задаче, но в случае Ь » а

(сильно вытянутый эллипсоид).

8.57. Гамильтониан системы имеет вид

причем М #> tn (два связанных осциллятора с сильно различаю-

различающимися массами). Найти уровни энергии системы и соответ-

соответствующие им волновые функции, используя адиабатическое при-

приближение.

Указанная задача допускает тонное решение. Найти его и

сравнить с результатом адиабатического рассмотрения.

8.58. Две частицы с сильно различающимися массами М>"

^ m находятся в бесконечно глубокой потенциальной яме ши-

шириной а. Частицы взаимодействуют друг с другом как непро-

непроницаемые точки, т. е.

(*i, а — координаты частиц). Найти энергетические уровни ниж-

нижней части спектра и соответствующие им волновые функции.

Глава 9

КВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ

§ 1. Квантование энергетических уровней.

Квазиклассические волновые функции

9.1 > Получить квазиклассическое выражение для уровней

энергии линейного гармонического осциллятора. Указать усло-

условие применимости полученного результата. Сравнить с точным

решением.

9.2. Получить правило квантования энергетических уровней

и найти соответствующие им квазиклассические волновые функ-

функции в случае потенциала вида, приведенного на рис, 17,

69

Ряс. 17.

9.3. Получить квазиклассическое выражение для уровней

энергии частицы в однородном поле тяжести в случае, когда ее

движение ограничено снизу идеально отражающей плоскостью.

Указать условие применимости полученного результата (не-

(несмотря на то, что для нижних энергети-

энергетических уровней п ~*> 1 квазиклассическое

приближение формально неприменимо,

полезно сравнить полученный результат

для п = Ос точным значением энергии

основного состояния (см. 2.15)).

9.4. Для частицы, находящейся в поле

U(x) = UD)x/af; U0>0, v > О,

найти в квазиклассическом приближе-

нии, как изменяется расстояние между

соседними уровнями энергии с увеличе-

увеличением п в зависимости от значения параметра v. Какова плот-

плотность состояний дискретного спектра?

9.5. Найти в квазиклассическом приближении плотность со-

состояний дискретного спектра частицы, находящейся в одномер-

одномерной потенциальной яме с одним минимумом у потенциальной

энергии.

9.6. Потенциальная энергия частицы вблизи точки х0 имеет

вид U(x) ж ±а.\х— -Xol^; v ;> 0. При каких значениях пара-

параметра v решение уравнения Шредингера в окрестности этой

точки имеет квазиклассический вид? Имеет ли решение квази-

квазиклассический вид при v = 2?

9.7. Для частицы в центральном поле ?/(#¦) = —«г^; а>0,

v>-0, выяснить, в какой области пространства решение урав-

уравнения Шредингера для s-состояния с энергией Е = 0 имеет ква-

знклассический вид.

9.8. Используя квазиклассическое приближение, найти верх*

пие энергетические уровни дискретного спектра (т. е. уровни

с ?„->0) частицы в поле U(x) вида

и,-!"* х>а <й>0>-

{со,

х<а.

Указать условия применимости результата.

9.9. Получить в квазиклассическом приближении волновые

функции и энергетические уровни ^-состояний частицы в куло-

новском поле V(r)=—а/г. Результат сравнить с точным решеч

ниеы задачи.

9.10. Обобщить результат предыдущей задачи на случай

центрального поля вида U(r) = — аг^; 0 < v < 2.

9.11. Обобщить результат задачи 9.9 ва случай стационарных

состояний частицы в кулоновском поле с отличным от нуля ме«

ментом.

9.12. Используя квазиклассическое приближение, найти зна-

значения параметров потенциала

отвечающие появлению новых состояний дискретного спектра

частицы при углублении ямы. Указать условия применимости

результата.

9.13. То же, что и в предыдущей задаче, в случае потенциала

9.14. Частица находится в потенциальной яме U(x), имею-

шей при *-»±оо вид и(х)сп\х\~*ш. v > 2.

Получить в квазиклассическом приближении формулу, опре-

определяющую значения параметров потенциала, при которых в

поле появляются новые состояния дискретного спектра по мере

углубления ямы.

9.15. Для частицы, находящейся в поле U(x)=UD\x/ct\v

[Wo > 0, v>0), выяснить, при каких значениях параметра v

можно использовать стандартные формулы квазиклассического

рассмотрения: правило квантования Бора — Зоммерфельда и

условия сшивания квазиклассических волновых функций в

окрестности точек поворота, основанные на линейной аппрокси-

аппроксимации потенциальной энергии.

9.18. Исходя из правила квантования Бора—Зоммерфельда,

получить выражение для смещения энергетических уровней ча-

частицы при изменении потенциальной энергии на малую вели-

величину 6U(x).

Показать, что результат согласуется с полученным в первом

порядке стационарной теории возмущений.

9.17. Доказать теорему вириала в рамках квазиклассического

приближения.

9.18. Считая известным энергетический спектр частицы Е„,

найти ее среднюю кинетическую энергию в п-м стационарной

состоянии при п Э> 1.

9.19. В квазиклассическом приближении найти матричные

элементы Fmn оператора F вида /= F{x) в случае \т — п\ ~~ 1,

т. е. между близкими по энергии состояниями. Установить со-

соответствие между матричными элементами Fmn и фурье-компо-

нентаын Fs функции F(x(t)) в классической механике:

где Т = 2л/« — период движения в рассматриваемом поле клас-

классической частицы с энергией, равной En sv Em.

Найти в квазиклассическом приближении матричные элемен-

элементы координаты осциллятора и сравнить их с точными значе-

значениями.

9.20. Обобщить результат предыдущей задачи на случай опе-

оператора Ft=F(fi). Функцию ^(г) считать представимой в виде

ряда F=Y*cJf-

9.21. Поле Lf(x) представляет собой две одинаковые потен-

потенциальные ямы (/ и //, см. рис. 18), разделенные барьером. Если

бы барьер был непроницаем для частицы, то существовали бы

уровни энергии, отвечающие дви-

движению частицы только в одной

из ям (первой или второй), оди-

одинаковые для обеих ям. Возмож-

Возможность прохождении через барьер

Приводит к снятию вырождения

и расщеплению каждого из

этих уровней на два близких

уровня, соответствующих состоя-

состояниям, в которых частица дви-

движется одновременно в обеих

ямах.

Определить величину расщепления уровней в квазиклассиче-

квазиклассическом приближении,

9.22. Используя квазиклассическЪе рассмотрение, получить

правило квантования момента и найти асимптотический вид ша-

шаровых фуНКЦИЙ Yim-

Указать условия применимости полученных результатов.

9.23. То же, что и в предыдущей задаче, но & случае

9.24. То же, что и в предыдущих двух задачах, в случае

|т|~ 1.

9.25. Исходя из решения уравнения Шредингера для линей-

линейного осциллятора в квазиклассическом приближении, найти

асимптотику полиномов Эрмита Нп(х) при п->со (и фиксиро-

фиксированном х).

§ 2. Прохождение через потенциальные барьеры

9.26. Вычислить в квазиклассическом приближении коэффи-

коэффициент прозрачности параболического барьера вида

Указать критерий применимости полученного результата

(при этом специально обсудить случай медленных частиц Е-ъ

-С).

9.27. Оценить в квазиклассическом приближении коэффи*

пиент прозрачности барьера вида

\U0(l-x]a), x>0.

Какова точность полученного результата (сравнить с S.31

и 9.32)?

9.28, То же, что и в предыдущей задаче, для барьера вида

ГО, х<0.

Х ~I U*ехр(— х/а), х>0

(см. также 9.31).

9.29. Вычислить в квазиклассическом приближении коэффи-

коэффициент прозрачности барьера

Полученный результат сравнить с точным (см. 2.52).

9.30. В квазиклассичесвом приближении найти коэффициент

прозрачности барьера

при Достаточно малой энергии частиц.

9.31. Найти предэкспоненциальный множитель & квазиклас-

сшьееком вырвжевнв для коэффициента прозрачности барье-

барьера вида

.... /0, х<0.

UWl

(предполагается, что при *1>0 выполнены условия примени-

применимости квазиклассического рассмотрения).

9.32. В выражении для коэффициента прозрачности барьера,

рассмотренного в 9.27, сделать поправку на предэкспоненциаль-

предэкспоненциальный множитель согласно результату предыдущей задачи и срав-

сравнить с точным решением (см. 253).

9.33. Обсудить условия применимости стандартного квази-

квазиклассического выражения для коэффициента прозрачности барь-

ера ?>{Е)

Г 2 f

=ехр|—т- \ j

l в случае потенциала, убываю-

убывающего при jc-*±;oo степенным образом: ?/(x)oo|jc|-v —для ма-

малых энергий частицы Е->0. Найти закон убывания D{E) при

Е -*¦ 0, когда эти условия выполнены.

9.34. Найти коэффициент прохождения частиц через квази-

квазиклассический барьер при энергии частиц Ео = [/щах ^ U(xo)t

т. е. равной максимальному значению потенциальной энергии

?рис. 19). Предполагается ^"(лгс^О. Указать условия приме-

применимости полученного результата и в случае потенциала, ука-

указанного в задаче 9.29, сравнить с точным значением (см. 2.52).

Глава 10

ТОЖДЕСТВЕННОСТЬ ЧАСТИЦ

§ 1. Симметрия волновых функций

10.1. Для системы из двух одинаковых частиц со спином s

найти число различных спиновых состояний, симметричных и

антисимметричных по отношению к перестановке спиновых пере-

переменных обеих частиц.

Каков характер симметрии спиновых состояний с определен-

определенным значением суммарного спина обеих частиц?

10.2. Пусть функции q>f (r) представляют пространственные

части волновых функций стационарных состояний частицы в

некотором внешнем поле. Две такие одинаковые частицы, имею-

имеющие спин s и слабо взаимодействующие друг с другом, нахо-

находятся в этом поле в орбитальных состояниях с заданными кван-

квантовыми числами fi и fs.

Найти общее число состояний с учетом спиновых степеней

свободы, считая, что частицы являются; а) бозонами; б) фер-

мионами.

Рассмотреть случаи одинаковых и различных квантовых чи-

чисел fls.

10.3. Показать, что если п тождественных частиц со спином

в находятсяв различных орбитальных состоянияхФ^(г), ф^(г),..,

.... (р (г), то общее число состояний с учетом спиновых

степеней свободы равно Q=Bs + 1)" независимо от того, ка-

какой статистике подчиняются частицы,

10.4. Пусть i]^ (|) являются нормированными на единицу вол-

волновыми функциями одночастичных состояний (ft — совокупность

квантовых чисел полного набора; | = (r,o), a — спиновая пе-

переменная). Написать нормированные на единицу волновые

функции состояний системы из трех тождественных бозонов,

находящихся в состояниях с квантовыми числами fi, f2, fa.

10.5. Три тождественных бозона со спином s = 1 находятся

Б одинаковых орбитальных состояниях, описываемых волновыми

функциями <р(г). Написать нормированные волновые функции

возможных независимых состояний системы указанного вида с

учетом спиновых степеней свободы. Каково число таких со-

состояний?

10.6. Три одинаковых, слабо взаимодействующих друг с дру-

другом бозона со спином s = 0 находятся в стационарных состоя-

состояниях с одинаковыми квантовыми числами п, и /, причем /= I,

в некотором центральном поле. Каково число различных состоя-

состояний системы указанного вида?

10.7. В условиях предыдущей задачи показать, что суммар4

ный момент L сястемы трех бозонов не может принимать зна-

значения L = 0.

10.8. Для состояния системы из двух одинаковых бозонов

со спином s = 0, описываемого нормированной волновой функ-

функцией \Р(п,гв), указать вероятность того, что одна частица на-

находится в объеме dVi, а другая — в dVs. Убедиться в правиль-

правильности нормировки полученного выражения.

Каковы вероятности того, что

а) обе частицы находятся внутри некоторого объема V;

б) одна частица находится внутри объема V, а другая — вне

этого объема?

10.9. Б системе из двух одинаковых бозонов со спином s = 0

одна частица находится в состоянии, описываемом волновой

функцией ф|(г), а другая —фг(г). Эти функции нормированы на

единицу и имеют определенные, причем противоположные, чет-

четности. Найти в указанном состоянии системы распределе-

распределение по координатам одной частицы при произвольном (не

фиксированном) положении другой. Каковы вероятности того,

что

а) одна частица; б) обе частицы

находятся в области пространства г^0? Сравнить полученные

значения со случаем различимых частиц.

10.10. Решить задачу, аналогичную предыдущей, для случая

сястемы, состоящей из двух одинаковых фермионов, находя-

находящихся в одном и том же спиновом состоянии.

10.11. Для системы из двух одинаковых бозонов со спилом

s = 0 найти функцию распределения по относительному рас-

расстоянию между частицами. Как проявляется в полученном

распределении тождественность частиц? Какой смысл имеет

79

D?(ri,r8) —нормированная волновая функция системы)?

10.12. Как известно, в задаче двух тел движение центра масс

и относительное движение независимы. Убедиться в том, что

условие симметрии волновой функции системы тождественных

частиц по отношению к их перестановке не нарушает этой не-

независимости.

10.13. Какие значения может принимать суммарный спин S

двух тождественных бозонов со спином s в состоянии с относи-

относительным орбитальным моментом L (L — момент в с.ц.и.), т. е.

какие состояния as+1L возможны в системе из двух тождествен-

тождественных бозонов? Рассмотреть, в частности, случай бозонов со спи-

спином s = 0.

10.14. То же, что и в предыдущей задаче, но для тождествен-

тождественных фермионов. Специально рассмотреть случай фермионов со

спином 1/2.

10.15. Два тождественных бозона со спином s=0 связаны

потенциалом V =ft(rj —Тк)8/2- Каков энергетический спектр

системы?

10.16. Система состоит из трёх Тождественных частиц;

П.г,з —радиусы-векторы частиц в системе центр.а инерции. Как

ведет себя величина г,г8 при перестановке местами Ьй и 3-й ча-

частиц? Симметризовать указанную величину по отношению к пе-

перестановке любых двух частиц системы.

10.17. Показать, что в системе из трех частиц (не обяза-

обязательно тождественных) состояния с суммарным орбитальным

моментом L = 0 в с. ц. и. имеют определенную, положительную

четность.

§ 2. Основы формализма вторичного квантования

10.18. Найти коммутационное соотношение для операторов,

представляющих эрмитову и аитиэрмитову части бозевского опе-

оператора уничтожения й (илн рождения й+).

10.19. Построить из операторов координаты Л и импульса р

частицы операторы й и б+, обладающие свойствами бозевских

операторов уничтожения и рождения.

Найти волновую функцию \Рс(*) состояния частицы, которое

в терминах фиктивных «частиц>, операторами уничтожения и

рождения которых являются введенные выше й, й+, является

вакуумным.

10.20. Найти собственные функции и собственные значения

операторов рождения и уничтожения. В рассматриваемых со-

состояниях найти распределение по числу частиц.

Обсудить случаи бозевских и фермиевских операторов,

79

10.21. Исходя из антикоммутациоиных соотношений для фер-

миевских операторов уничтожения Ъ и рождения Ь+ показать,

что собственные значения оператора числа частиц п=Ъ+Ъ рав-

равны 0 и 1.

10.22. Является ли переход от операторов й, й+ к новым

операторам й' = й+а, &'+ = &¦ +а* (а-комплексное число)

унитарным преобразованием? Рассмотреть случаи фермиевских

и бозевских операторов рождения и уничтожения.

Провести анализ состояния вакуума «новых» частиц ]0'>

(частиц, операторами уничтожения н рождения которых являют-

являются d*. й'+) в терминах исходных частиц, т. е. найти распреде-

распределение по числу этих частиц.

10.23. То же, что н в предыдущей задаче, для преобразова-

преобразования вида

(а, р — вещественные числа; предварительно выяснить, при ка-

каких значениях а, р указанное преобразование является унитар-

унитарным).

10.24. Можно ли для преобразования вида

рассматривать й',- й'* как операторы уничтожения и рождения

некоторых новых частиц?

Провести анализ состояний |я') (т. е. состояний с опреде-

определенным значением п новых частиц) в терминах исходных ча-

частиц.

№.25. Пусть операторы tkf являются олераторами рождения

частицы в состоянии Ч^ (fi — совокупность квантовых чисел

полного набора). Произвольное одночастичное состояние ]1)

можно представить в виде

Какой квантовомеханический смысл имеют коэффициенты Q?

Рассмотреть, в частности, одночастичное состояние бесспино-

бесспиновой частицы вида

10.28. Операторы й^, &f_ и й+, &в являются операторами

рождения и уничтожения частицы в состояниях, определяемых

квантовыми числами ft и gk двух различных полных наборов.

Указать соотношения между этими операторами.

10-27. ДвукчастичнОе состояние системы тождественных бо-

бозонов (или фермионов) списывается вектором состояния

), где Щ-— оператор рождения частицы в состоя-

состоянии, определяемом квантовыми числами U некоторого полного

набора.

Нормировать вектор состояния на единицу. Рассмотреть слу-

случаи одинаковых и различных квантовых чисел ft и fa. Указать

вид нормированных волновых функций рассматриваемых состоя-

состояний в координатном представлении (как для бозонов, так и для

фермноиов).

10.28. То же, что и в предыдущей задаче, для трехчастич-

ного состояния 13) = й?й?й+10). Для определенности ограни-

ограничиться случаем, когда все три набора квантовых чисел ft, fa, f%

различны.

10.29. Для системы тождественных частиц определенного сор-

сорта указать вид следующих операторов в пространстве чисел

заполнения:

а) гамильтониана В, считая частицы свободными;

б) суммарного импульса Р;

е) радиуса-вектора центра инерции R4.H.

10.30. Используя результаты предыдущей задачи, найти опе-

оператор скорости центра инерции Уц.„ системы из N тождествен-

тождественных свободных частиц.

10.31. Для системы, состоящей из одинаковых частиц, найти

в представлении чисел заполнения вид операторов плотности

числа частиц й(г) (в точке г пространства) и числа частиц

J?(y), находящихся в некотором объеме v.

10.32. Доказать соотношения

[Р,

= lH-§FV{t), [Р, Ф+(

где Р, Ф(г) —операторы импульса и поля (\Р-операторы) в

представлении чисел заполнения для системы тождественных

бозонов со спином s = 0.

Обобщить соотношения на случай бозонов с отличным от

нуля спином и на случай фермионов.

10.33. Найти в представлении чисел заполнения вид опера-

оператора F2 квадрата аддитивной величины (F = ? fa\

Задачу предлагается решить двумя способами:

а) исходя из равенства Р2 = РР и используя известный вид

одночастичного оператора (см. 10.29)}

б) исходя из равенства

и используя стандартный вид одно- и двухчастичных операто-

операторов в схеме вторичного квантования.

Сравнить полученные результаты,

10.34. Найти в представлении чисел заполнения оператор

произведения плотностей числа частиц щп2 в различных точках

пространства Г], rE (rj Ф г2).

Отметим, что среднее значение щп^ используется для опи-

описания пространственной корреляции флуктуапнй плотности

(см. 10.36 и 10.38).

§ 3. Системы из большого числа N ~S> 1 частиц

10.35. В основном состоянии бозе-газа из N невзаимодей-

невзаимодействующих частиц со спином 5=0, находящихся в объеме V,

найти среднюю плотность числа частиц, среднее число частиц

в некотором объеме v и флуктуацию этого числа частиц.

Задачу предлагается решить усреднением соответствующих

операторов в представлении чисел заполнения.

10.38. В условиях предыдущей задачи рассмотреть простран-

пространственную корреляцию флуктуации плотности числа частиц. Для

однородной системы она характеризуется корреляционной функ-

функцией v (г) (г = Г[ — г2), равной

v (г) = \ {«^ — п.2}

п (г,) и т. д.),

где п — средняя плотность числа частиц.

Сравнить с соответствующим результатом для системы из N

классических не взаимодействующих Друг с другом частиц, на-

находящихся в объеме V.

10.37. В основном состоянии системы из N не взаимодей-

взаимодействующих друг с другом фермионов, находящихся в объеме V

(идеальный ферми-газ), найти среднюю плотность числа частиц

и среднее число частиц в некотором объеме v.

Задачу предлагается решить усреднением соответствующих

операторов в представлении чисел заполнения. _

10.38. В условиях предыдущей задачи рассмотреть корреля-

корреляцию плотностей числа частиц с определенными значениями

проекции спина на ось г в различных точках пространства;

найти n(Ti,sx\)n(rs,s^ и сравнить с произведением n(r|,szi)X

X«(f2, Szs). Рассмотреть случаи различных и одинаковых зна-

значений SZ| И Szi-

Найти корреляционную функцию плотности (см. 10.36),

10.39. Рассматривая взаимодействие между частицами как

воз\тущение, найти в первом порядке теории возмущений энер-

энергию основного состояния боэе-газа, содержащего N частиц со

спином s = 0b объеме V (взаимодействие частиц друг с другом

описывается короткодействующим парным потенциалом оттал-

отталкивания [/([Г,, —Г6 |)^:0).

10.40. То же, что и в предыдущей задаче, для фермн-газа

частиц со спином s = 1/2. Предполагается, что потенциал

парного взаимодействия не зависит от спина и удовлетворяет

условию М?о<1, где Яо— радпус потенциала, fifty- —гранич-

—граничный импульс.

10.41. Идеальный ферми-газ нейтральных частиц со спином

s = 1/2, имеющих спиновый магнитный момент щ (так что

р = моо), находится во внешнем однородном магнитном поле.

Для основного состояния рассматриваемой системы найти:

а) числа заполнения одночастичных состояний;

б) магнитную восприимчивость газа (в случае достаточно

слабого поля).

Взаимодействие магнитных моментов друг с другом прене-

пренебрежимо мало.

Глава 11

АТОМЫ И МОЛЕКУЛЫ

§ 1. Стационарные состояния атомов с одним

и двумя электронами *)

11.1. Найти поправку к уровням энергии водородоподобного

атома**) за счет релятивистской зависимости массы частшщ

(электрона) от скорости в первом порядке теории возмущений.

Сравнить величину поправки со значениями энергетических

уровней атома.

Для бесспиновой частицы полученный результат дает тонкую

структуру уровней водородоподобного атома. В случае же элек-

электрона, как это следует из уравнения Дирака, кроме рассмотрен-

рассмотренной поправки в гамильтониане имеется еще одно слагаемое,

описывающее так называемое спин-орбитальное взаимодей-

взаимодействие, вклад которого в смещение уровней атома имеет такой

же порядок величины, как и рассчитанная в данной задаче по-

поправка.

11.2. Вычислить в первом приближении теории возмущений

сдвиг энергетического уровня основного состояния водородопо-

водородоподобного атома, обусловленный неточечностью ядра. Ядро счи-

считать сферой радиуса R, по объему которой равномерно распре-

распределен заряд Ze. Оценить численное значение поправки и срав-

сравнить ее с релятивистскими эффектами (см. предыдущую задачу).

Насколько существенна неточечность ядра для ^-мезоатома?

11.3. Исследовать движение отрицательно заряженного ц-ме-

зонэ (мюона) в поле ядра заряда Ze (рассматриваемого как

*) В задачах этой главы часто, гагедна

зуем атомные единицы {ат. ед.); е = А = тс

•*) Водородоподобным {и аналогична п

мы называем систему, состоящую из ядра с

{двух) электронов.

оговариваясь, мы исполь-

сфера радиуса R, однородно заряженная по объему; R =

=• 1,2Л1'3-10-1* см, А да 22, Л —атомный номер ядра); вэаяыо-

действие мюона с ядром имеет чисто электростатический ха-

характер.

Найти волновые функции стационарных состояний и уровни

энергии мюона в предельных случаях малых и весьма больших

значений Z. Оценить энергию -у-квантов, излучаемых при атом-

атомных переходах в нижней части энергетического спектра ц-мезо-

атома.

11.4. Рассмотреть сверхтонкую структуру уровней s-состоя-

ний водородоподобного атома, связанную с взаимодействием

магнитных моментов электрона и идра. Ядро имеет спин / и

магнитный момент цо, так что ц = -у-Т, и предполагается то-

точечной частицей. Оценить величину сверхтонкого расщепления

и сравнить ее с интервалами тонкой структуры (см. задачу 11.1;

характерные значения магнитных моментов ядра имеют вели-

величину eti/ntpC, тр — масса протона, / — 1).

В случае атома водорода сравнить полученный результат

с экспериментальным значением сверхтонкого расщепления

(HFS) основного состояния Avhfs = A?hfs/2jiA= 1420 МГц*);

магнитный мОмёнт протона равен Цр = l,39eh/mpc.

11.5. Рассчитать в пеов&м порядке теории возмущений энер-

энергию основного состояния'двухэлектронного атома (или- иона),

рассматривая взаимодействие между электронами как возмуще-

возмущение. Получить значение потенциала ионизации системы и срав-

сравнить его с экспериментальными данными для атома гелия и

ионов лития, бериллия, углерода: /(Не) = 24,5 эВ; /(Li+) =

=75,6 эВ; /(Ве++)= 153,6 эВ; /(С4+) = 393 эВ.

11.6. Рассчитать в первом порядке теории возмущений энер-

энергию основного состояния и потенциал ионизации двухэлектрон-

двухэлектронного атома (или иона), выбрав невозмущенный гамильтониан

в виде

(использована атомная система единиц). Параметр Z9$$ в этом

гамильтониане выбрать из условия обращения в нуль поправки

первого порядка к энергетическому уровню системы. Сравнить

с результатом предыдущей задачи (см. также следующую за-

задачу) .

11.7. Найти энергию и потенциал ионизации основного со-

состояния двухэлектронного иона, исходя из вариационного прин-

принципа. В качестве пробной функции взять произведение водород-

водородных функций с некоторым эффективным зарядом Z3$$, играю-

играющим роль вариационного параметра. Сравнить с, результатом

•) Энергия, соответствующая частоте v^ 1 МГц, раава е » 4,14-JO-» ЭВ,

ч

задачи 11.5 и с приведенными там экспериментальными дан-

данными.

Можно ли на основании полученного результата сделать вы-

вывод о существовании устойчивого иона водорода Н-?

11.8. Найти среднюю энергию двухэлектронного иона с за-

зарядом ядра Ze в состоянии, описываемом волновой функцией

вида

V to, rs) = С [ехр (- or, - f>r2) -f ехр (-?/-,— or2)J.

Воспользовавшись полученным выражением и выбрав зна-

значения параметров а = I, Э = 0,25, доказать существование ста-

стабильного иона водорода Н~.

11.9. Найти приближенно энергетические уровни дискретного

спектра и соответствующие им волновые функции для системы,

состоящей из ядра с зарядом Ze, электрона и рг-мезона.

11.10. Рассчитать сверхтонкое расщепление триплетного

235-состояния атома гелия с ядром sHe (спин ядра /= 1/2,

магнитный момент р, = — l,064eft/mpe). При вычислениях ис-

использовать приближенный вид волновой функции 2э5-состояния,

получающийся в пренебрежении взаимодействием электронов

Друг с другом Сравнить полученный результат с эксперимен-

экспериментальным значением величины сверхтонкого расщепления

Avhfs = AEHFS/2nh да 6740 МГц.

11.11. Какие значения может принимать момент относитель-

относительного движения элеитронов в орто- и парасостояниях гелнеподоб-

ных атомов?

11.12. Найти уровни энергии и потенциалы ионизации воз-

возбужденных состояний гелиеподобных атомов в приближении,

в котором взаимодействие между электронами эффективно учи-

тывается как экранирование заряда ядра электроном, паходя-

ццшся в основном, ls-состояиии. Сравнить полученный резуль-

результат с экспериментальными данными, приведенными в решении

задачи.

11.13. Рассчитать энергетические уровни и потенциалы иони-

ионизации еннглетного и триплетного 25-состояний двухэлектронно-

двухэлектронного атома (или иона), рассматривая взаимодействие между элек-

электронами как возмущение.

Сравнить полученные результаты с экспериментальными

данными для атома гелия- /неB35)да 0,175 ат. ед. да 4,76 эВ,

/не B'5) да 0,146 ат. ед. да 3,97 эВ — и иона лития Li+: /u+ B3S) да

»0,605 ат. ед. да 16,5 эВ.

11.14. Найти энергию и потенциал ионизации 235состояния

гелиеподобного атома вариационным методом. В качестве проб-

пробной функции взять должным образом симметризованное произ-

произведение водородных функций Is- и 25-состояний с некоторым

эффективным зарядом ядра Za$$, играющим роль вариацион*

ного параметра.

В случае атома гелия и иона лития L1+ сравнить полученный

результат с экспериментальными данными (см. 11.13).

11.16. Показать, что у гелиеподобных атомов все устойчивые

возбужденные состояния (т. е. стабильные относительно распа-

распада на соответствующий водородоподобный атом и свободный

электрон) имеют электронную конфигурацию \stil, т. е. один

из электронов обязательно находится в основном, ls-состоянии.

11.16. Обобщить результат предыдущей задачи на случай

литиеподобных атомов (три электрона в кулоновском поле ядра

с зарядом Ze, Z ^ 3): показать, что устойчивыми являются

только такие состояния системы, электронная конфигурация ко-

которых имеет вид (ls)snl, т. е. два электрона обязательно нахо-

находятся в основном, ls-состоянии.

11.17. Оценить значения потенциалов ионизации основного

2S- (электронная конфигурация (lsJ2s) и первого возбужден-

возбужденного 2Р-состояниЙ (электронная конфигурация (ls)^/?) литие-

подобного атома, считая, что взаимодействие электронов, нахо-

находящихся в основном состоянии, с «возбужденным» электроном

сводится к экранировке на 2 величины заряда ядра.

В случае атома лития сравнить полученные значения с экс-

экспериментальными: /BS) = 5,373B и /(BP) = 3,S2 эВ.

11.18. Рассчитать вариационным методом энергию основного

состояния литиеподобного атома. Волновые функции электро-

электронов выбрать в виде соответствующих водородных функций с

эффективным зарядом ядра гэМ„ играющим роль вариацион-

вариационного параметра.

Расчет провести двумя способами:

а) пренебрегая обменными эффектами;

б) взяв в качестве волновой функции должным образом сим-

симметризованное произведение одночастичных волновых функций.

В случае атоыа лития сравнить полученные результаты с

экспериментальным значением ?о да —203,4 эВ да —7,48 ат. ед.

§ 2. Многоэлектронные атомы

11.19. Найти возможные термы возбужденных состояний

атома с электронной конфигурацией (сверх заполненных обо-

оболочек; пф «'):

а) nsn'p; б) прп'р; в) npn'd.

11.20. Найти возможные термы атома со следующей элек-

электронной конфигурацией (сверх заполненных оболочек);

о) (прJ; б) (пр)*; в) (лр)*; г) (ndJ.

Пользуксь правилом Гуида, указать нормальный терм атома,

11.21. Определить основные термы атомов N, C1 и ионов N+,

11.22. Какова четность атомных термов, имеющих электрон*

ную конфигурацию (сверх заполненных оболочек) i

«) lns\*; б) Дпр)*; в) (nrf)fc; г) .(«Р)Л(«^(?

11.23. Указать атомные термы, возможные дли электронной

конфигурация (nl)a.

11.24. Каковы мультиплетность 2S-H и полный орбиталь-

орбитальный момент L основного состояния атома с электронной кон-

конфигурацией (л/)* сверх заполненных оболочек?

11.25. Каково число различных независимых состояний (не

термов!) атома, отвечающих электронной конфигурации (nl)"

сверх заполненных оболочек?

11.26. Какое число различных независимых состояний атома,

имеющего электронную конфигурацию (nl)s, отвечает значению

S = 3/2 суммарного спина электронов?

11.27. Возбужденным состояниям атома, имеющим электрон-

электронную конфигурацию nsn'l (пфп'), отвечают два терма: '/. и SL

{L— суммарный орбитальный момент, L = I). Рассматривая

взаимодействие между электронами как возмущение, показать,

что энергия триплетного терма ниже энергии синглетного. Вид

радиальных функций ns- и n'f-электронов не конкретизировать,

11.28. Атом содержит сверх заполненных оболочек два экви-

эквивалентных лр-электрона. Рассматривая взаимодействие между

электронами как возмущение, найти порядок расположения

энергетических уровней возможных термов !5, '/>, SP атома.

Убедиться в том, что значения квантовых чисел S и L нормаль-

нормального терма подтверждают правило Гунда.

Указание. При составлении правильных функций «нулевого»

приближения, отвечающих определенному значению L момента,

удобно использовать тензорный формализм (см. задачи § 4 гла-

главы 3). Явный вид радиальной зависимости волновых функций

пр-электронов не конкретизировать.

11.29. Используя выражение для электронной плотности ней-

нейтрального атома согласно модели Томаса — Ферми, найти за-

зависимость от Z среднего расстояния электрона от идра перед-

переднего значения квадрата этой величины. Каково значение г" для

п^З?

11.30. Найти распределение электронов по импульсам в ней-

нейтральном атоме с зарядом ядра Z согласно модели Томаса—-

Ферми. Учесть, что универсальная функция %{х) этой модели,

определяющая объемную плотность электронов, монотонно убы-

убывает с ростом х.

Используя полученный результат, найти зависимость от за-

заряда ядра Z средних величин импульса и кинетической энергии

электрона.

11.31. В рамках модели Томаса — Ферми для нейтрального

атома найти зависимость от заряда ядра Z:

а) характерной величины орбитального момента электрона;

б) энергии полной ионизации атома.

11.32. Определить зависимость от Z числа электронов рас-

распределения Томаса— Ферми, находящихся в s-состоянии.

11.33. В модели Томаса —Ферми для нейтрального атома

выразить через электронную плотность п(г) кинетическую энер-

энергию электронов, энергию их взаимодействия друг с Другом и

с ядром.

Используя полученные выражения, теорему вириала и пове-

поведение на малых расстояниях г~*0 электростатического потен-

потенциала самосогласованного поля электронов и ядра

получить численное значение энергии полной ионизации атома.

11.34. В приближении Томаса — Ферми получить выражение

для полной энергии нейтрального атома через электронную

плотность п(г).

Рассматривая функционал ?[«(О], показать, что нормиро-

нормированная функция Г\ n(r)dV = z\ минимизирующая этот функ-

функционал, является решением уравнения Томаса — Ферми.

Используя полученный результат, найти энергию полной

ионизации атома вариационным методом, выбрав универсалы

ную функцию %(х) модели в виде 7пРое(х) = Иехр(—ом:), а —

вариационный параметр. Сравнить полученное выражение для

энергии ионизации и пробную функцию jcnpocfx) при малых к

с известными результатами точного численного решения.

11.35. Используя экстремальные свойства функционала

Е !«(/¦)], установленные в предыдущей задаче, доказать в рам-

рамках модели Томаса — фермн:

а) теорему вириала; б) соотношение Ve яд = —7Uee между

энергиями взаимодействия электронов друг с другом Vee и с

ЯДрОМ (УеЯд.

§ 3. Основные представления теории молекул

11.36. Произвести классификацию возможных термов моле-

молекулярного иона водорода Н2+*). Указать, какие значения может

принимать орбитальный момент электрона L (по отношению

к центру симметрии иона) для различных термов иона.

11.37. Состояние системы из двух электронов описывается

волновой функцией •? = КавФ(гь*я), где %& — спиновая функ-

функция, а функция ф(Г1,г«) пространственных переменных имеет

вид:

*) Отметим, что в задачах, связанных с классификацией термов молекул,

речь идет об описании некоторых формальных свойств атомных систем при

фиксированной положении ядер, так как вря этом остается открытым вопрос

об устойчивости такой системы по отношению к «развалу> ее на отдельные

атомы (или ионы). В случае иона Hj устойчивым является только одно,

2+-состояние (A™0).

а) fc = f(n, rsj;

б) ^etniio + r^Jf^hfi);

e) *=([riii]no)f(ri,rs);

г) *1> = (гцю + r2n0) (Irir2] n0) До, 'г)

(n0 — постоянный вектор).

Произвести принятую в теории двухатомных молекул клас-

классификацию указанных состояний.

11.38. Указать термы молекулярного иона водорода Щ, ?о-

торые могут получиться при соединении протона и атома водо-

водорода, находящегося в состоянии с главным квантовым числом

л =2.

11.39. Определить термы двухатомных молекул Nj, LiH,

HCi, NO, которые могут получиться при соединении соответ-

соответствующих атомов, находящихся в основном состоянии.

11.40. Могут ли в результате адиабатического разведения

ядер — протонов из термов молекулы водорода Н2 получиться

два атома водорода, оба находящиеся в возбужденных со-

состояниях?

11.41. Может ли в результате адиабатического разведения

ядер из термов молекулы LiH получиться атом водорода, нахо-

находящийся в возбужденном состоянии (напомним, что потенциал

ионизации основного состояния атома лития равен / =

= 0,20ат. ед.)?

1142. Для двухатомной молекулы оценить, по порядку ве-

величины, отношение следующих величин:

й) интервалов между электронными, колебательными н вра-

вращательными уровнями;

б) межъядерного расстояния и амплитуды нулевых колеба-

колебаний ядер;

е) характерных периодов и скоростей электронных и ядер-

ядерных движений.

11.43. Считая известными следующие характеристики моле-

молекулы водорода Hj:

а) энергию диссоциации основного состояния молекулы на

два невозбужденных атома водорода /о = 4,46 эВ;

б) частоту колебаний юе молекулы, Йюе = 0,54 эВ;

в) ротационную постоянную Ве = 7,6- iO# эВ,

найти соответствующие величины для молекул HD и D2l т. е.

молекул, в которых одно или оба ядра —протоны заменены на

дейтрон.

Сравнить величины эффекта изотопического смещения уров-

уровней атома и молекулы водорода.

11.44. Каковы возможные вращательные состояния молекул

водорода Hg, дейтерия Da и HD, находящихся в основном, Sg-co-

стоянии, в зависимости от значения суммарного ядерного спина

молекул (sd = 11?

11.45. Обсудить вопрос о возможности существования отлич-

отличного от нуля среднего электрического дипольного момента двух*

атомной системы в стационарных состояниях:

а) электронного терма, т. е. электронной подсистемы с фик-

фиксированным положением ядер;

б) молекулы.

Рассмотреть состояния с различными значениями Л (Л = 0

и Л Ф 0) и случаи, когда ядра атомов являются:

а) д б) изотопами одного и того же элемен-

элемен) у, д д

а) тождественными; б)

та; б) различными.

11.46. Получить выраж

лучить выражение для энергии ?о№) основного

терма молекулярного иона водорода На вариационным методом,

аппроксимируя волновую функцию терма функцией вида

где г — расстояние электрона от центра отрезка, соединяющего

ядра — протоны, а, — вариационный параметр.

Выбрав в полученном выражении ?о№, а) параметр а = 1,9

(при таком значении а функция двух переменных ?о№,сс).

имеет абсолютный минимум при некотором Re, подлежащем

определению), найти размер иона Ro (/?е—расстояние между

ядрами иона в положении равновесия), минимальную энергию

терма Ео и энергию нулевых колебаний ядер — протонов иона

Екол, о- Сравнить полученные результаты с экспериментальными

данными Ro & 2,0 ат. ед., Ео *ы —0,60 ат. ед., ?Кол о ж

& 0,0044 ат. ед.

Можно ли на основании решения данной задачи сделать вы-

вывод о существовании стабильного иона Ш?

11.47. Для системы из двух частиц, одна из которых имеет

момент li=t, найти угловую зависимость волновых функций

)Р//ел состояний системы, отвечающих определенным значениям

ее суммарного момента / = 0,i, его проекции Jz на ось г и про-

проекции момента Л на направление радиуса-вектора второй ча-

частицы (при этом ограничиться случаем Л = 0),

Обобщить полученные результаты на случай произвольных

значений величин U, J, Л (но по-прежнему Л = 0).

Указание. При решении задачи удобно использовать тензор-

тензорный формализм (см. 3.68). Состояния подобного типа реали-

реализуются в двухатомных молекулах, причем в роли «первой» ча-

частицы выступает электронная подсистема, а в роли «второй» —

ядерная (правда, орбитальные моменты электронов и ядер в

отдельности не имеют определенного значения).

11.48. Для частицы со спином s=l/2 найти спин-угловую

вавнсимость волновых функций ^/j-j. состояний частицы с

определенными значениями /=1/2 суммарного момента ча-

ртицы, его проекции Jx = ±l/2 на ось г н с определенной

проекцией fc (fc = ± 1/2) спина частицы на направление ее ра-

радиуса-вектора. Каковы орбитальный момент частицы и четность

таких состояний?

11.49. Найти уровни энергии и соответствующие волновые

функции стационарных состояний асимметричного волчка с мо-

моментом / = 1 в /г/Е-представлении.

11.50. Главные моменты инерции асимметричного волчка

удовлетворяют условиям h ~~ h ^ 'з- Найти уровни энергия

волчка в первом порядке теории возмущений. Каков хараитер

энергетического спектра и, в частности, какова кратность выро*

ждения уровней в этом приближении? В каком порядке теории

возмущений происходит дальнейшее снятие вырождения уров-

уровней?

11.51. То же, что и в предыдущей задаче, в случае, когда

главные моменты инерции удовлетворяют условию \I\ — /s|<C

< Л ~ /3.

§ 4. Атомы и молекулы во внешних полях.

Взаимодействие атомов и молекул

11.52. Как известно, поляризуемость ft, основного состояния

атома определяется выражением (предполагается j = 0)

A)

— оператор диполыюго момента атома (суммирование прово-

проводится по всем влектронам); по— произвольный единичный век-

вектор; сумма в выражении A) берется по всем возбужденным

состояниям системы (причем если состояния |А> относятся к

непрерывному спектру, то под суммой следует понимать инте-

интеграл).

Показать, что поляризуемость р0 удовлетворяет неравенству

(очевидно, р0 > 0)

где Ef* — энергия первого возбужденного состояния атома.

Получить также ограничение снизу на величину р0, взяв в

сумме A) лишь первое отличное от нуля слагаемое,

В случае атома водорода рассчитать указанные ограничения

снизу и сверху на величяну р0 и сравнить с точным значением,

равным ?-0 = 9/2 ат. ед.=9($2, а0 — боровский радиус.

11.53. Уточнить ограничения снизу и сверху на значение

поляризуемостн fl0 основного состояния атома водорода, полу-

полученные в предыдущей задаче, включив в рассмотрение еще одно

слагаемое (возбужденное состояние) в сумме A) (см. преды-

предыдущую задачу).

11.54. Рассчитать поляризуемость основного состояния атома

водорода вариационным методом. При решении задачи вос-

воспользоваться пробными функциями вида:

p

б) ^

— волновые функции основного (л = 1, / = 0, т =0) и первого

возбужденного B,1,0) состояний атома водорода в отсутствие

внешнего электрического поля; ось г направлена вдоль поля,

ее— вариационный параметр. Сравнить полученные результаты

с точным значением p\i =9flj/2 (см. также следующую задачу).

11.65. Уточнить результат предыдущей задачи, используя

пробное функции вида

где а, V — вариационные параметры.

При получении численного значения поляризуемостн реар

принять значение параметра у ='0Д

11.56. Рассмотреть эффект Штарка для возбужденных со-

состояний атома водорода с главным квантовым числом л,==2 в

первом порядке теории возмущений. При решении задачи вос-

воспользоваться собственными функциями невозмущенного гамиль-

гамильтониана в сферических переменных Ч?ыт. Указать условия при-

применимости полученных результатов (при этом учесть то обстоя-

обстоятельство, что при решении задачи пренебрегается релятивист-

релятивистскими эффектами, приводящими к тонкой структуре уровня; ин-

интервал тонкой структуры для уровня с л = 2 составляет A?FS «,

«4.5.|(НэВ). j

П.57. Используя известное значение ро= — аЗ_-_. ат. ед.

поляризуемости атома водорода в основном состоянии, полу-

получить приближенное значение поляризуемости основного состоя-

состояния атома гелия;

а) полностью пренебрегая взаимодействием электронов друг

с другом;

б) учитывая взаимодействие между электронами, результа-

результативно, как частичное экранирование заряда ядра (эффективный

заряд ядра выбрать равным ?Эфф = 27/16, см. 11.7).

Рассчитать диэлектрическую проницаемость гелия при нор-

нормальных условиях и сравнкть с экспериментальным значением

во х 1,000070 (такой величине ец соответствует значение поля-

поляризуемости Р = 1,40 ат. ед.).

11.58. Оценить порядок величины поляризуемости томас-

фермиевской модели атома, т. е. отношение дипольного момен-

момента d етомас-фермиевских» электронов, возникающего под дей-

действием приложенного электрического поля, к величине напря-

напряженности поля &.

Сравнить с вкладом в поляризуемость атома валентных элек-

электронов.

11.59. Для двухатомных молекул оценить порядок величины

поляризуемости р основного состояния в случаях, когда:

я) средний дипольный момент молекулы d = 0 (в системе

координат, жестко связанной с осью симметрии молекулы);

б) d ФС.

Считать, что основной терм молекулы !2.

Сравнить полученные величины друг с другом и с характер-

характерной величиной поляризуемости атома.

11.60. Найти штарковское расщепление вращательных компо-

компонент электронного терма '2 двухатомной молекулы, имеющей

постоянный дипольный момент (штарковское расщепление пред-

предполагается малым по сравнению с расстоянием менаду соседни-

соседними вращательными уровнями). Сравнить с результатом зада-

задачи 8 12.

11.61. Рассмотреть эффект Зеемана для водородоподобиого

мезоатома со спином мезона $ = 0. Взаимодействие мезона с

ядром (предполагаемым точечным) считать чисто электроста-

электростатическим. Каков характер снятия вырождения уровней с глав-

главным квантовым числом п?

11.62. То же, что и в предыдущей задаче, для атома водо-

водорода. Магнитное поле считать настолько сильным, что зееманов-

ское расщепление много больше тонкой структуры уровней. Для

уровня сп = 2 указать условия применимости полученных ре-

результатов (интервал тонкой структуры этого уровня составляет

11.63. Рассмотреть эффект Зеемана для триплетной и син-

глетной компонент сверхтонкой структуры основного состояния

атома водорода (ядро атома — протон), предполагая зееманоз-

ское расщепление малым по сравнению с величиной сверхтон-

сверхтонкого расщепления.

11.64. Выяснить влияние конечности массы ядра на эффекты

Штарка и Зеемана в Еодородоподобном атоме (или мезоатоме).

11.65. Найти зеемановское расщепление уровней позитрония

{связанное состояние электрона и позитрона), предполагая его

много большим тонкой структуры. Сравнить со случаем атома

водорода.

90

11.66. Найти магнитную восприимчивость Хат атома гелия в

основном состоянии, используя приближенный вид волновой

функции, установленный в li.7. Рассчитать магнитную вос-

восприимчивость 1 см3 газа из атомов гелия /газ при нормальных

условиях и сравнить ее с экспериментальным значением, рав-

равным -8,6-10-".

11.67. В случае триплетного 2эР-состояния атома гелия воз-

возможны следующие термы: 8РС, 3Pi. г^2, которые при учете ре-

релятивистских эффектов имеют различные энергии (тонкая

структура). Оценить магнитную восприимчивость атома в 8Ро-

состоянии "и сравнить ее с магнитной восприимчивостью и поля-

поляризуемостью основного состояния атома.

11.68. Найти зееыановское расщепление вращательных ком-

компонент электронного герма '2 двухатомной молекулы (зеема-

(зеемановское расщепление предполагается малым по сравнению с

расстоянием между соседними вращательными уровнями).

11.69. Найти энергию взаимодействия заряженной частнцы

(протона, мезона, электрона и т. д.) с невозбужденным атомом

водорода на больших расстояниях друг от друга.

11.70. Рассмотрим систему, состоящую из двух заряженных

чэстиц и нейтрального атома водорода, находящегося в основ-

основном состоянии, причем расстояние между атомом и заряженны-

заряженными частицами много больше боровского радиуса. Найти энер-

энергию взаимодействия указанной системы. Имеет ли она адди-

аддитивный характер?

11.71. Найти энергию взаимодействия заряженной частицы и

двухатомной молекулы, находящихся на большом расстоянии

друг от друга. Предполагается, что молекула обладает постоян-

постоянным дипольным моментом d (в системе координат, жестко

связанной с осью молекулы) и находится в основном состоя-

состоянии по всем квантовым числам. Электронный терм моле-

молекулы '?.

11.72. Найти энергию взаимодействия двух атомов водорода,

находящихся в основном состоянии на большом расстоянии R

друг от друга, вариационным методом. При расчетах использо-

использовать пробные функции вида:

а) Ч'прРб = СТоЫЧ'о(''2)[1 + вг1г2];

б) 4%** = СВД-,) Тс (ft) 11 + «(*i*2 + W2 ~ 2zizz) ],

где Чго(г)=у\/—jrr№ — волновая функция основного состоя-

ния атома водорода; гь г% — радиусы-векторы электронов перво-

первого и второго атомов относительно своих ядер, ось г направлена

вдоль оси, проходящей через ядра; а — вариационный параметр.

В принятых обозначениях оператор взаимодействия между

атомами в диголь-дяпольном приближении имеет вид

11.73. Найтн энергию взаимодействий на больших расстоя-

расстояниях двух молекул, обладающих постоянными дипольными мо-

моментами di и d2. Предполагается, что молекулы находятся в

основных состояниях по всем квантовым числам; электронные

термы молекул 1Е.

§ 5. Нестационарные явления в атомах и молекулах

11.74. Атом водорода находится в основном состоянии.

Ядром атома является тритон — сверхтяжелый изотоп водорода,

В результате р-распада тритий превращается в гелий:

Найти вероятность того, что нон гелия, образующийся в резуль-

результате распада, окажется в основном состоянии.

При расчете явления учесть то обстоятельство, что эффект

изменения заряда ядра является доминирующим по сравнению

с эффектами отдачи ядра (см. по этому поводу 11.77 и 11.78)

и взаимодействия электрона р-распада и атомного электрона

(скорость р-распадного электрона много больше скорости атом-

атомного: v ^,10уат).

11.75. В условиих предыдущей задачи найти вероятности

возбуждения различных состояний нона гелия (водородоподоб-

иый атом с Z = 2) с главным квантовым числом п = 2.

11.76. В условиях задачи 11.74 найти среднее значение энер-

энергии, приобретаемой атомным электроном в результате р-рас-

р-распада ядра.

11.77. Ядро атома, находящегося в стационарном состоянии

ЧЪ, испытывает внезапный толчок длительности т, в результате

которого приобретает скорость v (например, за счет отдачи при

излучении -у-кванта возбужденным ядром).

Предполагая выполненными неравенства т <. Т и т < а/и.

где Т и а — порядки величин электронных периодов и размеров

электронной оболочки соответственно, выразить в общем виде

вероятность перехода атома в состояние \РП в результате такого

«встряхивания».

11.78. Используя результат предыдущей задачи, вычислить

суммарную вероятность возбуждения и ионизации атома водо-

водорода (первоначально находящегося в основном состоянии) в ре-

результате внезапного «встряхивания», при котором ядру —про-

—протону сообщается импульс Р.

Указать условия применимости результата.

11.79. Обобщить результат 11.77 на случай двухатомной мо-

молекулы, т. е. получить общее выражение для вероятности пере-

перехода молекулы из стационарного состояния % в состояние Ч*,,

в результате внезапного «встряхивания», при котором одному из

ядер молекулы сообщается импульс Р.

11.80. В условиях предыдущей задачи найти вероятность

эого, что молекула останется в исходном состоянии, если вне-

внезапное изменение скорости ядра V много меньше характерных

скоростей электронов в молекуле. Электронный терм молекулы

'2, и она находится в основном состоянии по всем квантовым

числам (и = /( = 0).

11.81. На атом водорода, находящийся при (==0 в нормаль-

нормальном состоянии, действует однородное, периодическое во вре-

времени (зависимость от времени вида sinmf) электрическое

поле.

Пользуясь теорией возмущений, вычислить отнесенную к еди-

единице времени вероятность ионизации атома. Электрон в конеч-

конечном состоянии считать, для простоты, свободным.

11.82. Найти вероятность выбрасывания /(-электрона из ато-

атома при диполыюм переходе ядра в результате прямого электро-

электростатического взаимодействия электрона с протонами ядра (внут-

(внутренняя конверсия в. пренебрежении запаздыванием).

-- В качестве начальной волновой функции использовать

Ч'-функцию /(-электрона водородоподобного атома. Скорость

электрона в конечном состоянии считать много больше

атомной.

11.83. То же, что и в предыдущей задаче, но в случае, когда

начальное и конечное состояния ядра имеют равный нулю мо-

момент (такие процессы называют конверсией при монопольном,

или ?0-переходе).

11.84. Найти вероятность выбрасывания /(-электрона из

возбужденного состояния ц-мезоатома (атом содержит один

р--мезон, находящийся на возбужденном уровне) в результате

эффекта Оже (т. е. (А-мезон переходит в более низкое энергети-

энергетическое состояние, а энергия перехода передается атомному элек-

электрону в результате электростатического взаимодействия мюона

и электрона).

Ограничиться рассмотрением так называемого дипольного,

или Р-перехода Оже, При котором изменение орбитального мо-

момента мюона |А/|=1.

При проведении расчетов считать размеры мюонной орбиты

много меньше электронных и электрон в конечном состоянии

свободным.

Указать условия применимости полученного результата. Рас-

Рассмотреть, в частности, мюонный переход 2p-*-ls.

11.85. То же, что и в предыдущей задаче, но в случае Д/ = 0

(S-перехсды Оже). Для простоты ограничиться случаем, когда

орбитальный момент электрона в начальном и конечном со-

состояниях равен нулю.

Рассмотреть, в частности; ;мюоняый переход 2s~> is.

Глава 12

АТОМНОЕ ЯДРО

§ 1. Основные представления о ядерных силах.

Дейтрон

12.1. Как известно, ядерные силы характеризуются малым

радиусом и большой интенсивностью. Так, качественные зако-

закономерности низкоэнергетического нуклон-нуклонного взаимо-

взаимодействия можно объяснить, только предположив, что радиус сил

Яо « 2-Ю-13 см (на больших расстояниях ядерные силы очень

быстро убывают), при этом характерная величина потенциала

ядерных сил составляет Uc <& 40 МэВ.

Найти характерные значения потенциалов кулоновского

взаимодействия двух протонов и магнитного взаимодействия

спиновых магнитных моментов двух нуклонов на указанном рас-

расстоянии Ro и сравнить их с величиной Lr0.

12.2. Каким был бы магнитный момент дейтрона, если бы

дейтрон находился в состоянии *):

a) >SC; б) "Si; в) 1Рц г) SPO; д) sPi\ e) Ч)м?

Напомним, что магнитные моменты свободных протона и

нейтрона (в ядерных магнетонах) равны: цР = 2,79; \хп = —l,9i;

экспериментальное значение магнитного момента дейтрона

На = 0,85, а его спин h ~ i.

Указание. Воспользоваться результатом задачи 3.54^

12.3. Для дейтрона оценить среднее значение г4 '(г =

= гр — гп), исходя из условия слабой связанности протона и

нейтрона и имея в виду, что с подавляющей вероятностью

дейтрон находится в состоянии SS.

12.4. Каким был бы квадрупольный момент дейтрона, если

бы дейтрон находился в состоянии:

a) 'So; б) «Si; в) *Рц г) *Р0?

Выразить квадрупольный момент дейтрона через среднее

квадратичное расстояние г2; сравнить с результатом следующей

задачи

12.5. То же, что и в предыдущей задаче, в предположении

3Ргсостояния дейтрона.

Произвести численную оценку Qo; сравнить с результатом

предыдущей задачи и с экспериментальным значением квадру-

полыюго момента дейтрона Qg = 2,82- 10-г7 смЕ.

*) Поскольку квантовые числа дейтрона твердо установлены, то задачи

такого типа, в которых рассматриваются гипотетические состояния дейтрона,

ыогут показаться искусственными. Однако следует иметь в виду, что имеиво

сравнение предсказаний физических характеристик дейтрона, рассчитанных

& различных предположениях о его квантовых числах, с экспериментальными

данными и позволило в конечном счете идентифицировать состояние реаль-

реального дейтрона,

12.6. Каковы собственные функции и собственные значения

изотопического спина (его величины и проекции Т$) для си-

системы из двух нуклонов?

12.7. Каково значение изотопического спина системы, со-

состоящей из протона и нейтрона, в состоянии системы с опреде-

определенными значениями суммарного спина S и момента относи^

тельного движения L нуклонов?

Указать изотопическую часть волновой функции дейтрона.

12.8. Указать наиболее общий вид изотоп ически-инвариант-

ного оператора взаимодействия двух нуклонов.

Выразить найденный оператор С через операторы нуклон-

нуклонного взаимодействия в состояниях с определенным зна-

значением изотопического спина Cr=o; i-

12.9. Для двухнуклонной системы указать изотопическую

структуру оператора кулоновского взаимодействия нуклонов.

12.10. На основании изотопической инвариантности ядерных

сил и экспериментального факта существования единственного

связанного состояния системы «протон -f- нейтрон» — дейтрона —

показать, что не должно существовать связанных состояний си-

системы из двух протонов или двух нейтронов.

Учесть значения квантовых чисел дейтрона: спин J& = l't

четность Рй = +i.

12.11. От каких свойств инвариантности реальных ядерных

сил пришлось бы отказаться, если бы состояние дейтрона пред-

представляло суперпозицию lPi -j- SP\ (а не 3Si + 3^ь как У реаль-

пого дейтрона)?

Указать возможный вид взаимодействия, которое могло бы

привести к указанному состоянию.

12.12. Предположив, что взаимодействие двух нуклонов

имеет следующую изотопическую структуру:

0 =

где Vi, 2 — операторы, уже не зависящие от изоспиновых пере-

переменных (они — операторы в пространстве координат и спинов,

симметричные по отношению к перестановке нуклонов), иайти

вид взаимодействия в системе из:

с) двух протснов; б) двух нейтронов; в) протона и нейтрона*

Согласуется ли рассматриваемое взаимодействие с:

1) изотопической инвариантностью; 2) зарядовой симметрией

реальных ядерных сил?

12.13, Какие свойства дейтрона указывают на зависимость"

протон-нейтронного взаимодействия от спинов нуклонов?

Рассмотрев зависящие от спина потенциалы!

S

Ч.

а) C«=VMoEtrn«=V(r)BSt —3I

б) 0= V(r)SL (спин-орбнтальное взаимодействие);

ej O=~ V(r)[6(Snls — 2S2] (тензорные силы)

^п = r/r. г = Гр — Гп, ® = -g-(вр + °п) — оператор суммарного

спина нуклонов), выяснить, какие из них могут быть использо-

использованы для объяснения сбсуждавшихся выше свойств дейтрона*

Указать интегралы движения для рассматриваемых потен-

циалов.

12.14. Показать, что потенциал тензорных сил

(s=^-(O[ + O2) — оператор суммарного спина нуклонов), рас-

рассматриваемый как возмущение центрально симметричного по-

потенциала Lro(f), приводит к сдвигу уровня S-состояния лишь во

втором порядке теории возмущений.

12.15. Показать, что при учете тензорных сил, когда 0 =

= (/0(r)_j_?rTi Где Ur = V{r)Sls, S!2?=6(Sn)a — 2S2, волновая

функция дейтрона, представляющая суперпозицию 8Si + ъ&и

может быть записана в виде

Здесь ^! = sP + Sn — оператор суммарного спина нуклонов,

%=\ ь I — произвольная спиновая функция спина S = l в

\е /

5г-представлении (соответственно оператор S и волновая функ-

функция )Р, отвечающая суммарному сгину нуклонов S = l, также

определены в Sz-представлении).

При каком выборе спиновой функции % рассматриваемая

волновая функция Ч* описывает состояние дейтрона с опреде-

определенным значением /г?

Найти в рассматриваемом состоянии <J>.

12.16. Как известно, магнитный момент дейтрона, представ-

представляющего суперпозицию 3Si + sDi, равен

jxd=(l — афрГЯОЧ-юцРА)»0,85 яд. маг.,

где l»CSi) и (*CД)—магнитные моменты системы «протон+

4- нейтрон» в состояниях sSi, sDi (см. 12.2), w яв 0,04 —вероят-

—вероятность нахождения дейтрона в 3/>гсостоянии.

Объяснить, почему для квадрупольного момента дейтрона

нет соотношения, аналогичного приведенному выше для маг-

магнитного момента. В связи с этим отметим, что квадрупольный

момент ^-состояния равен нулю, в состоянии 3?>| он отрица-

отрицателен, QCZ>i)<0, а его экспериментальное значение для дей-

дейтрона Qa ж 2.82-10-27 см*>-©.

12.17. Оценить размеры «зеркальных» ядер трития SH и ге-

гелия 3Не, исходя из того,, что при р-распаде 3Н -» 3Не + е + v

максимальная кинетическая энергия электрона ео= 17 кэВ.

Учесть изотопическую инвариантность ядерных сил и отсутствие

у рассматриваемых ядер возбужденных состояний. Напомним

следующие численные значения: {Мп — Мр)с2 & 1,29 МэВ,

теса« 0,51 МзВ.

12.18. Как известно, размеры ядер определяются соотноше-

соотношением Ц = гоА'Р, где А — число нуклонов в ядре.

Оценить значение гс из данных о р+-распаде ядра, содержа-

содержащего Z + i протонов и Z нейтронов (так что A =2Z-\- i), вы-

выразив его через максимальное значение энергии ео позитронов

распада. Считать, что распадающееся ядро и ядро — продукт

распада (являющиеся зеркальным» ядрами) находятся в оди-

одинаковых состояниях (т. е. имеют одинаковые квантовые числа,

за исключением значений 73-компоиент изоспина). Энергию ку-

лоновского взаимодействия протонов в ядре считать равной

электростатической энергии равномерно заряженного шара,

имеющего такие же заряд и радиус, как и ядро.

Получить численную оценку г0 из распада uSi-> «Ai +ef +

+ v, для которого ео = 3,48 МэВ.

12.19. То же, что и в предыдущей задаче, из распада

iJCi -> feS + e* + v, для которого со = 5,52 МэВ.

§ 2. Модель оболочек

12.20. В модели оболочек каждый нуклон в ядре рассмат-

рассматривается как движущийся в некотором среднем (самосогласо-

(самосогласованном) поле, создаваемом остальными нуклонами ядра и яв-

являющемся сферически симметричным.

Предполагая, что самосогласованный потенциал можно ап-

аппроксимировать потенциалом

найти одночастичиые энергетические уровни.

К каким значениям магических чисел приводит такая мо-

модель самосогласованного потенциала?

Какие качественные изменения в картине одночастичных

урорней происходят при малом (но сферически симметричном)

возмущении Ы1(г) рассматриваемого потенциала?

Каковы предсказания модели в отношении моментов и чет-

ностей основных состояний ядер?

12.21. Как известно, объяснение свойств основных и нижних

возбужденных состояний ядер на основе оболочечной модели

может быть получено лишь при введении, наряду с центральным

самосогласованным потенциалом U{r), также спин-орбиталыю-

го взаимодействия Vis.

В рамках модели, в которой

4 Ва М. ГалнцилВ в др.

(сравнить с предыдущей задачей), найти одночастичный энер-

энергетический спектр. Для а«й<о/Ю (сз = iJkjM ) нарисовать кар-

тину нижних одночастичных уровней (такая модель правильно

передает порядок расположения одиочастичных уровней, суще-

существенный для описания свойств не слишком тяжелых ядер).

В рамках рассматриваемой модели найти моменты (спины)

и четности основных состояний ядер: еНе, 6Li, 'gB, l|C, 13C, 'tN,

I4C, |6O, 17O, SA1, SCa.

12.22. Найти нижние одночастичные уровни для осциллятор-

ного потенциала при наличии спин-орбитального взаимодей-

взаимодействия вида

Uts=~ агТо.

Обсудить характер расщепления уровней невозмущенного

гамильтониана. Сравнить с результатом предыдущей задачи.

12.23. В рамках модели оболочек найти спин-изоспиновую

часть волновых функций основных состояний ядер трития SH

и гелия 3Не.

12.24. Указать возможные значения полного момента / и

изотопического спина Т ядер, содержащих сверх заполненных

оболочек два нуклона в состоянии pi/г (с одинаковым «). Ядра-

Ядрами, имеющими такую конфигурацию, являются 'еС, '7N, 'eO

(два нуклона сверх заполненных оболочек (Ц/2L0Рзс)в)

12.25. То же, что и в предыдущей задаче, для Двух нунлонов

в состоянии р3!2.

12.26. В модели оболочек найти магнитный момент и гиро-

гиромагнитный множитель для ядра, содержащего сверх заполнен-

заполненных оболочек лишь один нуклон (или имеющего одну дырку

в незаполненной оболочке).

Применить полученный результат к основным состояниям

следующих ядер*): 3Н (/ = i/2; ц = 2,91); 3Не (i/2; —2,13);

"В C/2; 2,69); "С (i/2; 0.70); ^N A/2; -0,28); "О E/2; -1*89);

"Si (i/2; -0,55).

При решении задачи воспользоваться схемой одночастичных

уровней, установленной в 12.21.

12.27. То же, что и в предыдущей задаче, но для ядра, со-

содержащего сверх заполненных оболочек по одному протону и

нейтрону (или имеющего по одной протонной и нейтронной

дырке в незаполненных оболочках) в одинаковых состояниях

(т. е. с одинаковыми значениями п, I, /).

Расчет провести для различных значений момента (спина)

ядра, возможных при данной нуклонной конфигурации. Срав-

Сравнить с экспериментальными данными для ядер *) 2Н (/ а= 1;

^=0,85); |Li A; 0,82); 1?В C; i,80); "N (i; 0,40).

12.28. Рассчитать магнитный момент ядра, содержащего

сверх заполненных оболочек по одному протону и нейтрону (или

имеющего по одной протонной и нейтронной дырке в незапол-

незаполненных оболочках) в одинаковых состояниях в условиях LS-свя-

$и (при этом одночастичные уровни характеризуются кванто-

квантовыми числами п, I, а не п, I, /, как в схеме //-связи).

Применить полученный результат к основному состоянию

ядра GLi, имеющему спин / = i. Найти ц для различных воз-

возможных значений L и S и сравнить с экспериментальным значе-

значением ЦэКСЛ = 0,82 и результатом предыдущей задачи. Нуклоны

сверх заполненной оболочки (isL находятся в 1р-состоянии

(т. с. имеют 7= 1).

Каков изотопический спин рассматриваемых состояний ядра

GLi?

12.29. Найти в схеме //-связи магнитный момент ядра, имею-

имеющего одинаковое число протонов и нейтронов сверх заполнен-

заполненных оболочек в одинаковых состояниях пЦ.

Применить полученный результат к ядру ^Na, имеющему

спин i =# и магнитный момент |1Жсп = 1,75.

12.30. То же, что и в предыдущей задаче, но в условиях

LS-связи (см. 12.28).

12.31. В рамках модели оболочек найти соотношение между

магнитными моментами основных состояний зеркальных ядер.

Ограничиться рассмотрением ядер, у которых все нуклоны

(обоих зарядовых состояний) сверх заполненных оболочек на-

находится в одинаковых состояниях пЦ.

Применить полученный результат к ядрам SH и 3Не и срав-

сравнить его с данными эксперимента, учитывая, что Цэксп (SH) =

= 2,91; ц}КСПCНе) = —2,13.

12.32. Найти квадрупольный момент ядра, имеющего сверх

заполненных оболочек лишь один протон в состоянии:

a) sE/2; б) рз/2\ е)_о5/2-

Выразить Qo через гК

Каков квадрупольный момент ядра, имеющего лишь одну

протонную дырку в указанных оболочках?

12.33. Обобщить результат предыдущей задачи на случай

прогона в состоянии с произвольным значением / н / =

= / + 1/2.

12.34. Найти квадрупольный момент ядра, имеющего сверх

заполненных оболочек лишь один протон в состоянии с произ-

произвольным значением / и /= /— i/2.

Сравнить с результатами предыдущих двух задач.

12.35. Найти квадрупольный момент ядра, имеющего сверх

заполненных оболочек лишь один нейтрон в состоянии с орби-

орбитальным моментом / и полным моментом / = / ± 1/2.

Указание. Ядро рассматривать как систему, состоящую из

двух подсистем: нейтрона сверх заполненных оболочек и

нуклонов заполненных оболочек (как целого), движущихся от-

относительно центра масс ядра *).

12.36. Как известно, модель оболочек с самосогласованным

потенциалом осциллнторного вида

позволяет понять и объяснить (при учете спин-орбитального

взаимодействия) многие свойства не слишком тяжелых ядер.

Предполагая, что осцилляторный характер самосогласован-

самосогласованного потенциала сохраняется и для тяжелых ядер Л>1, на

основе квазиклассических соображений получить выражение

для плотности нуклонов в таких ядрах. При решении задачи

пренебречь кулоновским взаимодействием протонов и рассмот-

рассмотреть ядра с одинаковым числом протонов и нейтронов.

Согласуется ли полученное выражение с экспериментальны-

экспериментальными данными?

12.37. То же, что н в предыдущей задаче, для самосогласо-

самосогласованного потенциала вида

"W = {oo, r>R.

Выбрав в соответствии с экспериментальными данными па-

параметр R модели в виде R = г0Л1'' (R — радиус ядра, г0 =

= 1,2- 1(И3 см), найти граничный импульс pF нуклонов в ядре.

Какова при этом максимальная скорость нуклонов?

Глава 13

ТЕОРИЯ СТОЛКНОВЕНИИ

§ 1. Борцовское приближение

I3.I. Показать, что амплитуда рассеяния частицы в произ-

произвольном внешнем поле может быть выражена через волновую

функцию в области действия потенциала:

t с» k)=—sk ^-"¦¦"(¦¦mt'i'W

гле ко, к— волновые векторы частицы до и после рассеяния,

Чг[+> — волновая функция, имеющая при г~> оо асимптотическое

поведение вида

*) Обсуждение трудности модели оболочек, связанной с фиксирование!^

тра масс ядра, рассматриваемого как система независимых частиц, см. i

re [3].

13.2. Как должен убывать потенциал взаимодействия на

больших расстояниях r~*-oot чтобы асимптотика волновой

функции Ч"?] при г->оо имела вид, указанный в предыдущей

задаче, т. е. чтобы на больших расстояниях плоская волна не

искажалась внешним полем? Ограничиться потенциалами, имею-

имеющими при г—*оо степенное убывание Lr (г) со/"".

13.3. Выяснить, на каквх расстояниях от силового центра

волновая функция >Р|+' (г) может быть представлена в асимпто

тическом виде, приведенном в 13.1. Считать, что яри r^R по-

потенциал пренебрежимо мал (R — «радиус» потенциала).

13.4. Найти в борновском приближении амплитуду рассеяния

и полное сечение рассеяния частиц в полях U(r), указанных

ниже. Исследовать предельные случаи малых и больших энер-

энергии частиц. Указать условия применимости рассмотрения.

a)

r) = ab(r—R); б) U(r)

13.5. Для потенциалов U{r), рассмотренных в предыдущей

задаче (i3.4,fl,6), найти значение Ч'{+)@)в первом порядке тео-

теории возмущений (Ч^+1(г) — волновая функция, описывающая

процесс рассеяния частиц с импульсом /tk).

13.6. Показать, что в условиях применимости борцовского

приближения полное сечение рассеяния частиц с(Е) в произ-

произвольном центральном поле U{r) как функция энергии удовле-

удовлетворяет неравенству

т. е. Еа(Е) —монотонно растущая функция энергии Е.

13.7. Показать, что при рассеянии частиц в поле притяжения

(т. е. при (/(г) ^ 0) или в поле отталкивания ((/(г) ^ 0) в усло-

условиях применимости борновского приближения максимальное

значение сечения рассеяния о[Е) имеют частицы с энергией

? = 0.

13.8. Получить выражение для амплитуды рассеяния частиц

в борновском приближении в случае потенциала, имеющего об-

обменный характер, т. е. ^„^(r)^ U(rL?(—r).

Как амплитуда рассеяния в этом случае связана с амплиту-

амплитудой рассеяния в обычном поле U{r)? Каково различие в харак-

характере рассеяния быстрых частиц на «обычном» и «обменном»

потенциалах?

13.9. Показать, что при больших энергиях частицы kR > 1

(R — радиус взаимодействия) полное сечение рассеяния в

поле С/(г)'гг V{p,z) в борновском приближении может быть

представлено в видь

Импульс частиц до рассеяния направлен вдоль оси г; р — дву-

двумерный радиус-вектор в плоскости, перпендикулярной оси г.

Применить указанную формулу к случаю поля Lr(r) =

= Loe~rW и сравнить с результатом задачи i3.4, e.

13.10. В борновском приближении амплитуда рассеяния ча-

частиц вперед (на угол 6 = 0) является вещественной величиной

(Imf F =0)= 0) и, таким образом, не удовлетворяет оптической

теореме, согласно которой о(?) = 4я1т/(?, в = 0)/k

Объяснить, почему такой результат является естественным

и нарушение оптической теоремы не противоречит успешному

описанию дифференциального и полного сечений рассеяния в

рамках борновского приближения (естественно, в условиях его

применимости; см. также следующую задачу).

13.11. Написать выражение для амплитуды рассеяния во вто-

втором порядке теории возмущений. Найти lmf(S'F = 0) и объяс-

объяснить полученный результат.

13.12. При исследовании амплитуд процессов столкновения

частиц важной характеристикой процесса является величина

— отношение вещественной части амплитуды рассеяния на угол

«нуль» к мнимой.

Выразить |ч(?)| через полное сечение рассеяния и диффе-

дифференциальное сечение рассеяния частиц вперед. Как ведет себя

величина г\(Е) в условиях применимости борновского прибли-

приближения?

13.13. Выразить в борновском приближении амплитуду рас-

рассеяния на двух одинаковых силовых центрах, находящихся на

расстоянии а друг от друга, т. е. f/(r)== fo(r)+ Vc(r — а), че-

через амплитуду рассеяния fo на одном центре Lr0(r).

Найти соотношения между сечениями рассеяния нн двух и

на одном центре в случаях:

а) ftfl<i (при этом величина kR может быть произволь-

произвольной, R — радиус действия сил отдельного центра);

б) kR ~ 1 и а > R (т. е. расстояние между центрами много

больше радиуса действия сил отдельных центров).

13.14. Получить в борновском приближении выражение для

амплитуды рассеяния на системе из N одинаковых центров, рас-

расположенных в точках а.,, п = i, 2 N, т. е. U (г) —

Применить полученный результат к анализу углового рас-

распределения рассеянных частиц в случае, когда центры располо-

расположены вдоль прямой линии, причем расстояния между ближай-

ближайшими центрами одинаковы и равны Ь, а импульс налетающих

частиц направлен вдоль оси, па которой расположены рассеи-

рассеивающие центры. Специально обсудить случай N > I.

Считая выполненными условия: R'^. b (R— радкус действия

потенциала отдельного центра), bk *&. 1, но Nbk 3> 1, найти пол-

полное сечение рассеяния частиц указанной цепочкой центров.

13.15. Найти во втором порядке теории возмущений амплн-

ТУДУ рассеяния частиц в поле V (г) = Сое~г'да при больших пе-

передачах импульса qR >¦ i. Сравнить с борновской амплитудой.

13.16. Сравнить при энергии частиц ? = 0 значения точной

амплитуды рассеяния fT(? = 0) в поле U{r) с амплитудой рас-

рассеяния в борновском приближении /Б@) в этом поле в случаях;

а) поля отталкивания (/(г) ^0;

б) поля притяжения (/(/") ^ 0, в котором, однако, нет со-

состояний дискретного спектра (потенциальная яма достаточно

«мелкая»).

Показать, что в случае а) борновское значение сечения рас-

рассеяния больше точного, а в случае б), наоборот, меньше.

§ 2. Фазовая теория рассеяния. Рассеяние медленных

частиц. Резонансные явления при рассеянии

13.17. Получить выражение для фазовых сдвигов 6Дй) в

условиях применимости борновского приближения непосред-

непосредственно из разложения по парциальным волнам амплитуды рас-

рассеяния в центральном поле.

Указание. Воспользоваться известным из теории функций

Бесселя соотношением (*,(/>0) [12]:

sin Улг- + у2 — 2ху cos <p

s Ф).

13.18. Получить выражение для фазовых сдвигов в борнов-

борновском приближении в случае обменного потенциала (см. 13.8).

13.19. В условиях применимости борновского приближения

найти поведение фазовых сдвигов при энергии частицы ?->0.

Ограничиться потенциалами Ьг(г), убывающими при /-->со

быстрее любой степени г (например, V <*> е-"*).

13.20. Найти поведение борновских фазовых сдвигов б? (ft

с фиксированным значением I при fc->oo. Ограничиться случаем

потенциалов, поведение которых при г-*-0 удовлетворяет усло-

условию г(У(г)^-е.

13.21. Используя квазиклассическое выражение для фазовых

сдвигов, найти их поведение при фиксированном значении I

и ?->ео. Сравнить с результатом предыдущей задачи.

13.22. Найти в борцовском приближении фазовые сдвига

s-волн {/ = 0) в нолях:

a) U{r)=U0R&{r — R); б) U(r)=U0^rlK.

Используя полученный результат, найти для указанных по-

полей сечение рассеяния медленных частиц. Указать условия при-

применимости и сравнить с результатами 13.4,о, б.

13.23. Восстановить потенциал взаимодействия V(r) по фазе

рассеяния &o{k) {/=0), считая ее известной при всех энергиях

частицы и предполагая, что |5с{?) | <? 1.

В качестве иллюстрации полученного результата рассмот-

рассмотреть зависимости 50(?) вида:

В случае б) сравнить с результатом 13 22,6.

13.24. Найти точные значения фазовых сдвигов s-волн в

полях:

в) V{r)*= — Voe-rl*.

Используя полученные результаты, найти для указанных по-

полей сечения рассеяния медленных частиц. Указать условия при-

применимости полученных выражений.

13.25. Найти длину рассеяния и сечение рассеяния медлен-

медленных частиц в поле U {г) = а/г*, а > 0.

13.26. Найти длину рассеяния и сечение рассеяния частиц

с энергией Е = 0 в поле

U(r) =

Специально обсудить предельные случаи с яг 6 и с> 6.

13.27. Найти энергетическую зависимость сечения рассеяния

частиц о{Е) в ноле, спадаюшем на больших расстояниях по

закону

U{r)^<tjr", r~>oo, 2<п<3,

при энергии частиц ?~>0.

13.28. То же, что и в предыдущей задаче, в случае потен-

потенциала, имеющего на больших расстояниях вид 11{г)ж а/г*.

13.29. Найти фазовые сдвиги б/ (k) в поле V (г) = а/г2, а > 0.

Выполнить суммирование ряда, представляющего разложе-

разложение амплитуды по парциальным волнам, в случаях:

ma/h2 <C I, при произвольных углах рассеяния;

ma/h2 ~>, I, при достаточно малых углах рассеяния;

mcc//i2> 1, при рассеянии частиц назад F = я),

г айти в указанных случаях дифференциальное сечение рас-

рассеяния частиц и сравнить его с результатами расчетов в бор-

борцовском приближении и согласно классической механике.

13.30. Вычислить полное сечение рассеяния быстрых частиц

kR )» I идеально отражающей (непроницаемой) сферой радиуса

/?. Воспользоваться квазиклассическим выражением для фазо-

фазовых сдвигов и оптической теоремой.

13.31. В условиях предыдущей задачи найти амплитуду и

дифференциальное сечение рассеяния для малых углов рассея-

рассеяния Щ? ^ 1*).

13.32. То же, что и в предыдущей задаче, но в случае не

очень малых углов рассеяния 6 XAR)#. Сравнить с результа-

результатом классической механики.

13.33. Найти длину рассеяния в полях притяжения:

а) i

как функцию параметров потенциала Uc, R.

Чем примечательны значения параметров поля, при которых

длина рассеяния обращается в бесконечность?

13.34. Вычислить сечение рассеяния медленных частиц в поле

U(r) = —аЬ(г — R) в условиях резонанса в s-волне.

13.35. То же, что и в предыдущей задаче, в случае сфери-

сферической потенциальнй ямы глубины Uo и радиуса R.

13.36. Найти парциальную амплитуду рассеяния частиц с

/ = 0 в поле V{r)= a&[r — R). В случае aR > Jis/m определить

положение Eq и ширину Г нижних квазндискретных уровней

(Eo~hs/mR2).

Сравнить сечения рассеяния частиц с энергией Е ~ H2/mR2

на б-функционной и непроницаемой сферах одинакового радиу-

радиуса R. Каково значение разности этих сечений при энергии ча-

частиц, близкой к энергии квазидискретного s-уровня?

§ 3. Рассеяние быстрых частиц (приближение эйконала).

Рассеяние частиц со спином

13.37. Получить выражения для амплитуды рассеяния быст-

быстрых частиц в приближении эйконала (q± « q f& ttQ)

/{ft, e

непосредственно из разложения ее по парциальным волнам.

•) Расселине под малыми углями б условиях, подобных данной задаче,

называют дифракциониим, так как по своей физической природе оно анало-

аналогично дифракции плосЕопараллельного пучка света, гадающего на непрозрач-

непрозрачный (отражающий или поглощающий) зиран (так называемая дифракция

Фраунгофера, см. [5]); см. также 13.56.

105

Указать условия применимости полученного результата.

13.38. Показать, что в приближении эйконала для ампли-

амплитуды рассеяния выполняется оптическая теорема (сравнить с

13.10 и 13.11).

13.39. Показать, что полное сечение рассеяния частиц в поле

U(г) быстрых частиц kR > 1 (Я—радиус потенциала) может

быть вычислено по формуле

независимо от соотношения между энергией частиц и потен-

потенциальной энергией, т. е. для справедливости формулы не тре-

требуется выполнения условий применимости приближения эйко-

эйконала.

Применить полученный результат к вычислению сечения рас-

рассеяния частиц потенциальным барьером: ?7=0 при г > R и

U = и0 при г < R.

13.40. Найти полное сечение рассеяния в поле I7(r) = cc/r*

(а >¦ 0) частиц с энергией, удовлетворяющей условию

л/тл/т»1-

1341. Выразить в приближении эйконала амплитуду рассея-

рассеяния частиц в поле двух силовых центров, находящихся на рас-

расстоянии а друг от друга, т. е. U{r)= U0(r)-\- 1Л>(|г — а|), че-

через амплитуду рассеяния /о на одном центре Uo(r).

13.42. Оператор взаимодействия частицы со спином s == 1/2

с бессшшовой частицей имеет вид

где г = г! — г2 — относительный радиус-вектор частиц, Т=

= — i[rVt] — оператор орбитального момента системы относи-

относительно центра масс.

Найти в борновском приближении амплитуду рассеяния при

столкновении таких частиц друг с другом.

13.43. Найти в борновском приближении амплитуду и диф-

дифференциальное сечение рассеяния быстрых нейтронов кулонов-

ским нолем.

13.44. Получить выражение для сечения рассеяния частиц

со спином s = 1/2 на бесспиновых частицах в борновском при-

приближении. Оператор взаимодействия частиц имеет вид, приве-

приведенный в 13.42.

Какова энергетическая зависимость полного сечения рассея-

рассеяния при больших энергиях? Сравнить со случаем рассеяния бес-

спиновых частиц.

13.45. Квкве ограничения накладывает условие эрмитовости

гамильтониана на вид оператора взаимодействия частицы со

спином s = 1/2 и бесспиновой частицы (см. 13.42)

Какова поляризация рассеянных частиц в первом борнов-

борновском приближении, если первоначально (до столкновения) они

были не поляризованы?

13.46. Частицы со спином s = 1/2 до рассеяния на бесспи-

новых^ частицах были поляризованы: вектор поляризации

Р = 28=^0. Показать, что в борновском приближении в резуль-

результате рассеяния происходит лишь поворот вектора поляризации,

так что 11^1 = 1 Р|, где Р' — вектор поляризации частиц после

рассеяния (сравнить с предыдущей задачей).

13.47. Найти амплитуду рассеяния медленных нейтронов на

протонах, учитывая, что их взаимодействие обладает следую-

следующими свойствами:

о) при квантовых числах / = 0 и 5 = 1 имеется связанное

состояние — дейтрон, энергия связи которого мала (ей <? ti?/mfi?,

R ¦— радиус взаимодействия);

б) при / = 0 и S = 0 имеется мелкий виртуальный уровень;

е) при малой энергии системы «нейтрон -f- протон» потен-

потенциал взаимодействия можно считать центральным, зависящим,

однако, от величины S суммарного спина, т. е. 0 = {/()+

+ V()SJ

§ 4. Рассеяние составных частиц,

Неупругие столкновения

13.48. Найти дифференциальное и полное сечения упругого

рассеяния быстрых электронов атомом водорода, находящимся

в основном состоянии,

13.49. То же, что и в предыдущей задаче, для атома гелия.

Волновую функцию атома выбрать на основании вариационного

расчета, проведенного в 11.7.

13.50. Найти полное сечение возбуждения 2$-состояния атома

водорода при столкновении быстрых электронов с атомами во-

водорода, находящимися в основном состоянии.

13.51. Найти дифференциальное и полное сечения возбужде-

возбуждения ядра электронами при монопольном (или Е0-) переходе

ядра, т. е. когда начальное и конечное состояния ядра имеют

одинаковые момент / = 0 и четность. Электроны в начальном

и конечном состояниях считать быстрыми.

13.52. Сферический ротатор, имеющий момент инерцли 1Г

заряд е = 0и электрический дипольный момент d, параллель-

параллельный оси ротатора (простейшей моделью такого ротатора яв-

является система из двух частиц с зарядами противоположного

знака, находящихся на заданном расстоянии друг от друга),

находится в основном состоянии.

Вычислить в первом порядке теории возмущений дифферен-

дифференциальное и полное сечения неупругого рассеяния заряженных

частиц ротатором с возбуждением его /-го уровня.

13.53. Найти сечение рассеяния тяжелых заряжеипых частиц

{например, протонов или ионов) нейтральными атомами, имею-

имеющими момент, равный нулю. Скорость рассеиваемых частиц

считать много меньшей скоростей атомных электронов. Указать

условия применимости полученного результата.

Указание. Предварительно показать, что в процессе рассея-

рассеяния существенны расстояния, много большие атомных. Восполь-

Воспользоваться квазиклассическим выражением для сечения рассеяния

(см. 13.39).

13.54. Определить сечения упругого и неупругого рассеяния

медленных частиц комплексной потенциальной ямой

lift'

l о.

r<R, Ut>0,

r>R

(по поводу физической интерпретации мнимой части потенциала

см. 7.9). Считать выполненными условия | Щ, t | <? H^/mR2.

13.55. Найти полное сечение Ополи, сечение упругого оу11р и не-

упрутого Онеупр рассеяния быстрых частиц kB~S>\ поглощающей

(«черной») сферой радиуса R. Сравнить с результатом 13-30.

Указание. Воспользоваться квазиклассическими представле-

представлениями о движении частиц. Считать, что все частицы, достигаю-

достигающие поверхности сферы, поглощаются ею.

13.56. В условиях предыдущей задачи найти дифференциаль-

дифференциальное сечение упругого рассеяния частиц. Сравнить с результа-

результатом 13.31.

13.57. Найти соотношения между амплитудами и дифферен-

дифференциальными сечениями упругого рассеяния нейтрона на протоне

и нейтрона на атоме водорода, находящемся в основном состоя-

состоянии. Взаимодействием магнитного момента нейтрона с электро-

электроном пренебречь. Указать условия применимости полученного

результата.

13.58. Как известно, в результате взаимодействия электрона

с позитроном может произойти их аннигиляция, т. е. превраще-

превращение пары в фотоны. Поэтому уровни энергии позитрония (водо-

родоподобного «атома», состоящего из электрона и позитрона)

имеют конечное время жизни.

Найти соотношение между временем жизни основного со-

состояния позитрония и сечением аннигиляции пары при столк-

столкновении медленного позитрона с электроном. Считать, что взаи-

взаимодействие, ответственное за аннигиляцию, имеет радиус, малый

по сравнению с размерами позитрония, и его можно рассматри-

103

рать как возмущение (конкретный вид этого взаимодействия не-

несуществен).

13.59. С помощью принципа детального равновесия связать

сечения радиационного захвата нейтрона протоном и фоторас-

фоторасщепления дейтрона.

Указание. Принцип детального равновесия и основанное на

нем соотношение между сечениями взаимно обратных двухча-

двухчастичных реакций в курсах квантовой механики обычно выво-

выводятся для нерелятивистских частиц (см., например, [3]). Однако

если в соответствующих окончательных выражениях понимать

под величиной импульса относительного движения двух частиц

величину импульса этих частиц в с.ц. и., то они непосредственно

переносятся на случай релятивистских частиц. В связи с этим

напомним, что в нерелятивистской механике />0™ = u.i>с.™ =

= |Pi| = |P2|> гДе Pi =—рг — импульсы частид в с. ц. и., ix~

их приведенная масса, vOTh = vf — va.

13.60. Найти соотношение между сечениями фотоэффекта с

основного состояния атома водорода и радиационной рекомби-

рекомбинации электрона с протоном (процесс, обратный фотоэффекту)

в основное состояние атома водорода. Спином протона и свя-

связанным с ним магнитным моментом можно пренебречь.

Глава 14

КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ

§ 1. Излучение фотонов

14.1. Найти время жизни и ширину возбужденного 2р-состоя-

иия атома водорода (спином электрона пренебречь).

Применить полученный результат к (i-мезоатому и сравнить

со временем жизни свободного ыюона (т11 = 2,2-1(Н с).

14.2. Найти время жизни первого возбужденного уровня за-

заряженного сферического осциллятора.

14.3. Показать, что дипольные (электрические) переходы

между:

а) уровнями атома с различной мультиплетностью (напри-

(например, между состояниями орто- и парагелия),

б) компонентами тонкой структуры одного и того же терма

атома (т. е. между различными уровнями одного и того же

мультиплета)

запрещены.

14.4. Для 2s, .2-состояния атома водорода оценить вероятность

электромагнитного перехода (в единицу времени*)) в 2р,/2-со-

сгояние.

*) В ряде последующих задач эта оговорка для npai

Напомним, что разность энергий 2si/j- и 2р1/гУровней (так

называемый лэмбовский сдвиг) составляет AELS«4,4 X

X НН эВ.

Полученный результат сравнить с вероятностью перехода

2si/2-».Is]/2 с излучением двух фотонов, равной цугу = 7 С#, и

с результатом 14.8.

14.6. Найти вероятность электромагнитного перехода сфе-1

рического ротатора, находящегося на первом возбужденном

уровне, в основное состояние.

Ротатор имеет момент инерции / и электрический дипольный

момент d, направленный вдоль оси ротатора.

Указание. Взаимодействие ротатора с полем излучения имеет

вид V = —dSred, где Stad (г) — оператор электрического поля

фотонов.

14.6. Найти вероятность электромагнитного перехода между

ротационными уровнями двухатомной молекулы, имеющей по-

постоянный дипольный момент d. Электронный терм молекулы 12.

Ограничиться случаем первого возбужденного ротационного

уровня.

Произвести численную оценку вероятности перехода.

14.7. Свободная нейтральная частица со спином s = 1/2,

имеющая спиновый магнитный момент ц (так что ц = ца), на-

находится в однородном магнитном поле ЭЬа в состоянии с опре-

определенным значением проекции спина на направление поля.

Найти вероятность излучения фотона в единицу времени в ре-

результате переворота спина.

14.8. Найти вероятность однофотонного перехода атома во-

водорода из возбужденного гя^-состояния в основное Isi/2-состоя-

ние. Сравнить полученное значение с результатом 14.4.

14.9. Найти вероятность электромагнитного перехода между

компонентами сверхтонкой структуры основного состояния ато-

атома водорода (см. 11.4).

14.10. Какова мультипольность излучения для доминирую-

доминирующих электромагнитных переходов между компонентами тонкой

структуры одного и того же терма атома?

Оценить численное значение вероятности соответствующих

электромагнитных переходов в единицу времени.

14.11. Показать, что один фотон не может находиться в со-

состоянии с равным нулю полным моментом.

Указание. При отыскании волновых функций (в импульсном

представлении) состояний фотона с определенным значением /

воспользоваться тензорным формализмом, развитым в задачах

§ 4 главы 3.

14.12. Показать, что система из двух фотонов не может на-

находиться в состояниях с равным единице полным моментом

]*=\ (в системе центра инерции). См. указание к предыдущей

задаче; учесть тождественность фотонов,

ПО

§ 2. Рассеяние фотонов. Излучение фотонов

при столкновениях

14.13. Найти дифференциальное и полное сечения упругого

рассеяния фотонов свободной заряженной частицей. Сравнить

с результатом классической электродинамики.

14.14. Найти дифференциальное и полное сечения упругого

расеяния фотонов сферическим ротатором, находящимся в

основном состоянии.

Ротатор имеет момент инерции / и электрический диполь-

дипольный момент d, направленный вдоль оси ротатора.

14.15. Найти дифференциальное и полное сечения упругого

рассеяния фотонов заряженным сферическим осциллятором, на-

находящимся в основном состоянии.

14.16. Найти дифференциальное и полное сечения рассеяния

фотонов нейтральной частицей со спином s = 1/2, имеющей

магнитный момент (i (так что \i = (ш).

Рассмотреть следующие случаи:

а) до рассеяния частица находится в состоянии с опреде-

определенным значением проекции спина на ось z (вдоль которой на-

направлен импульс падающих фотонов) sz = -H/2, и в процессе

рассеяния спиновое состояние частицы не изменяется;

б) то же, что и в предыдущем пункте, но в процессе рассея-

рассеяния происходит переворот спина частицы, т. е. в конечном со-

состоянии (после столкновения) s2 = —1/2;

е) рассеяние на неполяризованных частицах.

14.17. Найти дифференциальное и полное сечения неупру-

неупругого рассеяния фотонов сферическим ротатором в основном со-

состоянии, сопровождающегося возбуждением ротатора, во вто-

втором порядке теории возмущений. Какие состояния ротатора при

этом возбуждаются?

Ротатор имеет момент инерции / и электрический дипольный

момент d, направленный вдоль оси ротатора *).

14.18. Для частицы в поле U{t) доказать справедливость

следующих соотношений (так называемых «правил сумм»):

a) XHmU|«)|2

6)

*) Решение аналогичной задачи для заряженного сферического осцилля-

осциллятора показывает, что в этом случае во втором порядке теории возмущений

в дипольном приближении процессы неупругого рассеяния фотонов не проис-

происходят (сравнить с 14.15).

Ш

где \i — масса частицы, суммирование проводится по всем ста-

стационарным состояниям, |л> — стационарное состояние дискрет-

дискретного спектра.

14.19. Выразить сечение рассеяния фотонов малой энергии

ha-*-О атомом, находящимся в стационарном состоянии с мо-

моментом, равным нулю, через поляризуемость атома.

14.20. Найти сечение фотоэффекта для водородоподобного

атома, находящегося в основном состоянии. Предполагается, что

энергия фотонов удовлетворяет условию Ла^>1, где /—потен-

/—потенциал ионизации

14.21. Найти сечение радиационной рекомбинации быстрого

электрона с покоящимся протоном (процесс, обратный фотоэф-

фотоэффекту) с образованием атома водорода в основном состоянии.

14.22. Найти дифференциальное и полное сечения фоторас-

фоторасщепления дейтрона, т. е. процесса v + d-v p -j- п.

Указание. Для волновой функции дейтрона воспользоваться

приближенным выражением, установленным в 12.3. Протон и

нейтрон в конечном состоянии рассматривать как свободные.

Расчет провести в дипольном приближении.

14.23. Найти дифференциальное сечение тормозного излуче-

излучения электропа в кулоновском поле ядра. Исследовать угловое и

спектральное распределения излучаемых фотонов. Взаимодей-

Взаимодействие электрона с ядром рассматривать как возмущение.

Глава 15

РЕЛЯТИВИСТСКИЕ ВОЛНОВЫЕ УРАВНЕНИЯ

§ I. Уравнение Клейна — Гордона

15.1. Показать, что если Ч"-*(г,/) представляет волновой па-

пакет, составленный из частных решений уравнения Клейна — Гор-

Гордона, отвечающих энергии (или частоте) определенного знака

(либо е ^ тс2, либо е ^ —тс2), то независимо от конкретного

вида такой суперпозиции значепие сохраняющейся во времени

величины

является знакоопределенным.

15.2. Показать, что уравнение Клейна — Гордона для сво-

свободной частицы инвариантно относительно антилинейного пре-

преобразования функции

Преобразование С представляет зарядовое сопряжение. Оно

позволяет поставить в соответствие не имеющим непосред-

непосредственного физического смысла решениям Ч^-' (г, t) уравнения

112

(»р(-) — суперпозиция частных решений, отвечающих формально

отрицательной энергии частицы) функцию 4fI;+l = C4r(-', отве-

отвечающую уже положительным энергиям и интерпретируемую как

волновая функция античастицы.

Убедиться в том, что если функция V является собственной

ответствующая зарядово-сопряженная функция *Ре также яв*

ляется собственной функцией. Как связаны собственные значе-

значения указанных операторов для таких функций?

15.3. а) Какой вид принимает уравнение Клейна — Гордона

для заряженной бесспиновой частицы во внешнем электромаг-

электромагнитном поле при преобразовании функции

У->Ус{г, Q = C4{r, /)^Т(г, 0?

б) Какое преобразование электромагнитного поля следует'

осуществить одновременно с указанным преобразованием функ-

функции ЧЧг, 0, чтобы получающееся при этом уравнение имело

такой же вид, как и исходное?

е) На основании полученных результатов дать интерпрета-

интерпретацию преобразования С как преобразования зарядового сопряже-

сопряжения, осуществляющего переход от частицы к античастице (срав-

(сравнить с 15.2).

15.4. Показать, что внешнее скалярное (по отношению к пре-

преобразованию Лоренца) поле оказывает одинаковое действие на

бесспиновую частицу и соответствующую ей античастицу. Срав-

Сравнить со случаем частицы во внешнем электромагнитном поле

(см. 15.3).

Указание. Уравнение, описывающее бесспиновую частицу во

внешнем скалярном поле U(r, t), имеет вид

V + 2mc~V) V = -

Не следует путать скалярное поле с э.- ^ктростатическим (по-

(последнее представляет временную компоненту 4-вектора). В не-

нерелятивистском пределе U(r, /) имеет смысл обычной потен-

потенциальной энергии.

15.6. Показать, что внутренние четности бесспиновой частицы

и соответствующей ей античастицы — одинаковые.

15.6. Основываясь па сохранении величины Q (см. 15.1), об-

обсудить вопрос об ортогональности и нормировке функций

\Fp,e{r,/), являющихся решениями уравнения Клейна—Гордо-

Клейна—Гордона, отвечающими определенным значениям энергии (обоих зна-

знаков) и импульса.

15.7. Показать, что для бесспиновой частицы в релятивист-

релятивистском случае можно сохранить обычную интерпретацию волно-

волновой функции в импульсном представлении как амплитуды

вероятности импульса {в отличие от координатного представле-

представления, см. I5.I).

Какова связь волновых функций частицы и античастицы в

импульсном представлении с решениями ^^(г, /) уравнения

Клейна — Гордона?

Сравнить с не релятивистским случаем

15.8. Получить выражение для среднего значения энергии

свободной бесспиновой дастицы в произвольном состоянии, опи-

описываемом решением Ч^+Кг, /) уравнения Клейна -Гордона.

15.9. То же, что и в предыдущей задаче, по для среднего

значения импульса частицы.

15.10. То же, что и в предыдущих двух задачах, но для

среднего значения момента частицы.

15.11. Найти в релятивистском случае энергетический спектр

заряженной бесспиновой частицы, находящейся в однородном

магнитном поле.

Сравнить с нерелятивистским случаем.

15.12. Найти энергетический спектр s-состояний бесспиновой

частицы во внешнем скалярном поле (см. 15.4) вида

U {г)

10, г>а.

Каков энергетический спектр античастицы в таком поле?

Обсудять трудности в интерпретации энергетического спект-

спектра, возникающие при значительном углублении ямы.

15.13. Найти энергетические уровни дискретного спектра за*

ряженной бесспиновой частицы (заряд —е) в кулоновском поле

ядра с зарядом Ze (ядро считать точечным и бесконечно тяже-

тяжелым).

В случае Zo. <? I (а = е2/Пс ж I/I37) сравнить полученный

результат с соответствующим выражением нерелятивистской

теории.

Обратить внимание на трудности, возникающие в интерпре-

интерпретации энергетического спектра при достаточно больших значе-

значениях заряда ядра, и объяснить их причину.

15.14. Непосредственно из уравнения Клейна —Гордона для

свободной частицы:

а) получить в нерелятивистском пределе уравнение Шре-

дингера;

б) найти первую релятивистскую поправку к полученному

уравнению.

15.15. Непосредственно из стационарного уравнения Клей-

Клейна — Гордона для заряженной бесспиновой частицы, находя-

находящейся в постоянном электромагнитном поле:

а) получить в нерелятивистском пределе уравнение Шре-

дингера;

б) найти первую релятивистскую поправку к полученному

уравнению.

15.16. Показать, что в достаточно сильном электростатиче-

электростатическом поле заряженная бесспиновая частица испытывает притя-

притяжение (в квантовомеханическом смысле) независимо от знака

ее заряда.

15.17. Найти в борновском приближении амплитуду и диф-

дифференциальное сечение рассеяния релятивистской заряженной

(заряд е\) бесспнновой частицы в кулоновском поле ядра с за-

зарядом Ze (ядро считать бесконечно тяжелым).

Сравнить со случаем нерелятивистской частицы.

Указать условия применимости полученных результатов.

15.18. Найти в борновском приближении энергетическую за--

висимость сечения рассеяния о(е) заряженной бесспиновой ча-

частицы во внешнем электростатическом поле *${г) при е->оо.

Указать условия применимости полученного результата?

сравнить его с результатом нерелятивистской теории.

15.19. Найти в борновском приближении энергетическую за-

зависимость сечения рассеяния с(е) бесспиновой частицы во внеш-

внешнем скалярном поле U(r) (см. указание к 15.4) при в->оо.

Указать условия применимости полученного результата?

сравнить его с результатами нерелятивистской теории и преды-

предыдущей задачи.

§ 2. Уравнение Дирака

В задачах этого параграфа использовано следующее пред-

представление четырехрядных матриц Дирака;

'-{ID- МоЛ-

-С !)¦

где о, I, 0 означают двухрядные матрицы Паули, единичную и

нулевую").

15.20. Выяснить, какие из указанных ниже операторов ком-

коммутируют с гамильтонианом свободной релятивистской частицы

со спином s = l/2 (и тем самым являются интегралами дви-

движения) :

I)?=-mv;2fl=-j-[rp] = -/[rv]: 3) Т2; 4) s-|?; 5) P;

6) j = l-fs; 7) f; 8) A = p?; 9) /[/VfrJ^Vf—r)]; 10) P^p/;

П) Vs.

Сравнить со случаем свободной нерелятивистской частицы.

и а, р, у, Z, Ys, о, 1. 0 не

:импол оператора над мат-

15.21. Найти решения уравнения Дирака, описывающие сво-

свободную частицу, имеющую определенные импульс и энергию.

Для конкретизации спинового состояния частицы воспользо-

воспользоваться коммутативностью оператора Л = ?р с операторами р

и Я (см. также 15.26).

15.22. Найти компоненты 4-вектора плотности тока свобод-

свободной дираковской частицы в состоянии, характеризующемся опре-

определенным значением ее импульса.

Сравнить с соответствующими выражениями нерелятивист-

нерелятивистской теории.

15.23. Найти среднее значение вектора спина днраковскей

частицы, имеющей определенный импульс (при этом спиновое

состояние частицы — произвольное). Считать для простоты, что

импульс направлен вдоль оси г.

Сравнить с результатом нерелятнвистской теории.

15.24. Рассмотреть унитарное преобразование биспиноров, за-

задаваемое унитарным оператором (матрицей) U = —=¦ Г _ i J ¦

Какой вид имеют в новом представлении оператор спина

частицы и уравнение Дирака для двухкомпонентных спиноров

{г-о*- (•))»

15.25. Считая известным спиновое состояние в системе покоя

частицы, найти биспииор и(р) в произвольной системе коорди-

координат, в которой частица имеет импульс р.

Используя полученный результат, найти связь средних зна-

значений вектора спина частицы в указанных системах координат.

15.26. Как известно (см. 15.21), для частицы со спином

s= 1/2 волновая функция состояния с импульсом р и энергией

с = Vp2c2 + m2c4 имеет вид

Указанное состояние является двукратно вырожденным (суще-

(существует два независимых способа выбора спинора ф), что связано

со спиновой степенью свободы. Рассмотрим два таких незави-

независимых состояния, различающиеся выбором спинора <р в виде *f^,

где

(п — произвольпый единичный вектор, Л = ±1, см. 5.12).

Убедиться в ортогональности спиновых состояний реляти-

релятивистской частицы, отвечающих различным значениям Я.

Учитывая результат предыдущей задачи, выяснить физиче-

физический смысл вектора п н соответствующих собственных значе-

значений К.

Каков смысл вектора -^-ф'оср при нормировке ф*ф= I?

15.27. Найти явный вид волновой функции состояния ан-

античастицы, соответствующего решению уравнения Дирака* с

определенным импульсом р и отрицательной энергией

с = — Vp1^2 + *я2с4 частицы. Сравнить с волновой функцией

физического состояния частицы (с энергией е ^ тс2 и опреде

ленным импульсом).

Какие квантовые числа — импульс, энергию и спираль-

ность — имеет античастица в состоянии, отвечающем решению

*Ррег. уравнения Дирака с отрицательной энергией частицы?

15.28. Показать, что для дираиовской частицы с массой

т = 0 оператор (матрица) у5 коммутирует с гамильтонианом

свободной частицы.

Найти собственные значения указанного оператора и выяс-

выяснить их физический смысл. i

15.29. Показать, что операторы (матрицы) Р± = 'Ml ± Тз)

являются проекционными.

Для дираковской частицы с массой т — 0 эти операторы

коммутируют с гамильтонианом. На какие состояния частицы и

античастицы проектируют указанные операторы Р±?

15.30. Квантовомеханическое описание фотона может быть

осуществлено с помошыо двух векторов S (г, i) и 31 (г, (), удов-

удовлетворяющих таким же уравнениям, как уравнения Максвелла

классической электродинамики для свободного электромагнит-

электромагнитного поля ?(г, /), ЭЦг, 0 (т. е. для электромагнитных волн в -

вакууме). i

Показать, что эти уравнения можно представить в вило,

аналогичном уравнениям Дирака для двухкомпонентных сагно-

ров (следует учесть, что масса фотона т = 0, а его спин s= 1).

15.31. Найти нерелятнвистекпй предел (с точностью до чле-

членов порядка е]/с» включительно) выражений для плотности за-

заряда и тока дираковской частицы, находящейся во внешлем

электромагнитном поле.

15.32. Гамильтониан частицы со спином s = 1/2, нахо/а

щейся во внешнем электромагнитном поле, имеет вид

И = cap + тс% + —- /VvPy^Yv,

где и — некоторый параметр, характеризующий частицу, fuv —

тензор электромагнитного поля.

Рассмотрев нерелятивистский предел (с точностью до чле

нов порядка «1/с» включительно) волнового уравнения *)

yV, выяснять физический смысл параметра к, т. е.

•) Это уравнение можно записать в явно релятивистскл-инвариаитном

установить его связь с электромагнитными характеристиками

частицы. Сравнить со случаем заряженных дираковских ча-

частиц—электрона и мюона, гамильтониан которых имеет вид

?д = Са (р — -J а) + тс^ -Ь еАа.

15.33. Найти энергетический спектр заряженной дираковской

частицы в однородном магнитном поле.

15.34. Найти в первом порядке теории возмущений диффе-

дифференциальное сечение рассеяния дираковской частицы в кулонов-

ском поле ядра с зарядом Ze. Ядро считать бесконечно тяжелым,

Указание. Воспользоваться теорией возмущений для перехо-

переходов в непрерывном спектре под действием стационарного воз-

возмущения; см. также 15.37.

15.35. Найти в первом порядке теории возмущений энерге-

энергетическую зависимость сечения рассеяния а(ё) заряженной ди-

дираковской частицы во внешнем электростатическом поле Ао(г)'

пРие-»-оо.

Сравнить с результатом 15.18.

15.36. Найти функции Грнна 6efop{r, г') стационарного урав-

уравнения Дирака для свободной частицы при энергии е ^ тс2,

удовлетворяющие уравнению

(Я - е) Gt ^ (- ihcav + тс*$ — е) Ge = б (г - г')

и имеющие при г->оо асимптотики вида

Найти также функцию Грина f^' уравнения Дирака, запи-

записанного в симметричной форме: (icp -j- тс2) Ч'е = 0, р = — jft\V -j-

+-tv«-

15.37. Найти в борновском приближении амплитуду рассея-

рассеяния дираковской частицы во внешнем постоянном электромаг-

электромагнитном поле.

Применить полученный результат к случаю электростатиче-

электростатического поля AD = Zefr и сравнить с 15.34.

Глава 16

ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ

§ 1. Кинематика распадов и столкновений

16.1. Покоящаяся частица А распадается на три частицы а;

А->За. Энергия распада*) равна Qo-

В каких пределах заключены кинетические энергии еа рас-

падных частиц?

•) Энергией распада называют разность внутренних энергий распадаю-

распадающейся частицы и частиц, образующихся при распаде.

16.2. Покоящаяся частица А распадается на три частицы а:

А->За. Энергия распада равна Qo. Так как Xen=Qo (e« —

кинетическая энергия n-й частицы), то можно поставить в со-

соответствие распаду точку внутри равностороннего треугольника

с высотой ft = Qo такую, что расстояния от этой точки до сторон

треугольника определяют энергии распадных частиц. Однако,

в силу закона сохранения импульса в распаде, не всякой точке

внутри треугольника можно сопоставить разрешенный по кине-

кинематике распад частицы А.

Показать, что точками треугольника, которым можно сопо-

сопоставить распад А->За, являются точки крута, вписанного в тре-

треугольник.

16.3. Пусть ра, Еа; рь, Еь — импульсы и кинетические энер-

энергии частиц а и Ь в некоторой системе координат.

Показать, что следующая комбинация этих величин:

s = - <ра + РьJ + 2 (тл + п>ь) (?а + ?„),

во всех инерциальных системах отсчета имеет одно и то же

значение, т. е. является галилеевски-инвариаитной величиной.

Считая, что частицы а и b являются продуктами распада не-

некоторой частицы А: А -»- а + Ь, найти связь s с энергией рас-

распада Qo.

16.4. То же, что v в предыдущей задаче, но для величины

' = - (Ра — РьJ + 2 (та - тъ) <?а ~ Еъ).

16.5. При столкновении частицы а с покоящейся частицей Ь

происходит возбуждение частицы Ь. Энергия возбуждения рав-

равна Qo.

Найти минимальное (так называемое пороговое) значение

кинетической энергии частицы а, при котором может идти такой

процесс. Рассмотреть предельные случаи та <? тъ и т&~3> ть.

16.6. В результате столкновения частиц а И b происходит

возбуждение частицы Ь. Энергия возбуждения равна Qo.

Построить диаграмму столкновений, позволяющую графиче-

графическим способом определять соотношения между импульсами ча-

частиц до и после столкновения в системе центра инерции и в ла-

лабораторной системе координат. В чем отличие диаграммы столк-

столкновений такого процесса от случая упругого рассеяния

(см. [4])?

16.7. Рассмотреть следующие величины, характеризующие

кинематику упругого столкновения частиц а и Ь:

s - - (Р. + РЬJ + 2 К + ть) (Ев -Ь Еь), t = - (ра - р;J,

и = - (Р. " р;J + 2 (т. - ть) {Ев - Е'ь),

где ра, ?а; р'а, Е'в — имлулъс и кинетическая энергия частицы а

соответственно до и после столкновения {аналогичные обозна-

обозначения — для частицы Ь).

Показать, что значения указанных величин не зависят от

системы отсчета, т. е. они — галилеевски-инвариантные вели-

величины.

Выразить s, t, и через кинетическую энергию частиц и угол

рассеяний в системе центра инерции.

Являются ли все три величины независимыми?

16.8. В результате столкновения составных частиц Л и В

происходит реакция АЧ-В-+а+Ь + с, т. е. в конечном состоя-

состоянии образуются три частицы.

Возможны два механизма такого процесса.

I) частицы а и Ь являются продуктами распада некоторой

нестабильной частицы R, т. е. процесс A-f- В -»- а + Ь ~|- с идет

в две стадии:

в две стадии:

A + B—I

(энергия распада R-*a-f-b равна Qc);

2) все частицы в конечном состоянии образуются независимо

в том смысле, что между их импульсами нет жесткой динамиче-

динамической корреляции {не считая, конечно, кинематической корре-

корреляции, обусловленной законами сохранения энергии и им-

импульса).

Как, зная распределение по импульсам частиц в конечном

состоянии, различить эти два механизма реакции?

Указание. Рассмотреть распределение по величине

s = - (ра + рьJ + 2 (т, + ть) (?. + Еь).

§ 2. Интегралы движения *)

16.9. Показать, что если некоторое преобразование координат

системы оставляет ее гамильтониан неизменным, то оператор

этого преобразования коммутирует с гамильтонианом. В част-

частности, рассмотрев для системы из N частиц преобразования ко-

координат:

о) сдвига тп~*г'п = тп-\-а;

•) Интсгра;

й (и

> при решенш

геграм

в задачах с центральной симметрией).

В задачах датюго параграфа особое шимание уделяется вопросу

ния интегралов движении, связанных с определенными свойствами

взаи м одеистви я).

Разумеется, пексторые задачи из других глав (¦

4 27, 6 19 и др.) можно было бы поместить и в данном i

?йфе.

1.29,

120

б) поворота на угол <рр = фцПо (п0 — единичный вектор

вдоль оси поворота системы координат, ф0-—величина угла по-

поворота);

е) отражения ги—*-*'п =— гп; п=1,2, .... N,

показать, что из инвариантности гамильтониана относительно

этих преобразований следует существование у рассматриваемой

системы механических интегралов движения: импульса, орби-

орбитального момента и четности.

16.10. Указать, какие из механических величин или их ком-

комбинаций {энергия, проекции и квадрат момента, проекции им-

импульса, четность) сохраняются при движении системы N бес-

сшшовых частиц в следующих полях:

1) при свободном движении;

2) в доле бесконечного однородного цилиндра;

3) в поле бесконечной однородной плоскости;

4) в поле однородного шара;

5) в поле бесконечной однородной полуплоскости;

6) в поле двух точек;

7) в однородном переменном поле;

8) в поле равномерно заряженного прямого провода с пе-

переменным зарядом;

9) в поле однородного трехосного эллипсоида;

Ю) в поле бесконечной однородной цилиндрической винто-

винтовой линии;

11) в ноле однородного конуса: а) однополостного, б) двух-

полостного;

12) в поле кругового тора.

16.11. Показать, что если ff и fa — интегралы движения не-

некоторой системы, то 6i=tf\fa + fafi) и U2 = i(UU~UU) также

являются интегралами движения.

16.12. Показать, что если у некоторой системы Рх и 1Х —

интегралы движения, то Ру также является интегралом дви-

Объяснить полученный результат, исходя из свойств сим-

симметрии рассматриваемой системы, обеспечивающих сохранение

Р* и h-

16.13. Показать, что если у некоторой системы 1Х и 1У — ин-

интегралы движения, то /г и, соответственно. Л3 также являются

интегралами движения.

Объяснить полученный результат, исходя из свойств сим-

симметрии рассматриваемой системы, обеспечивающих сохранение

S* и /„.

16.14. Гамильтониан частицы со спином s= 1/2 имеет вид:

а) Н = -?¦ + Ut (г) -т U, {г) (al):

б) Н = -?г +

Указать интегралы движения.

Найти спин-угловую зависимость волновых функций стацио-

стационарных состояний дискретного спектра.

16.15. Нейтральная частица со спином s=s 1/2, имеющая

спиновый магнитный момент щ (например, нейтрон), находится

в аксиально симметричном магнитном поле вида (в цилиндри-

цилиндрических координатах);

а) Э№р = Эвщ = О, Жг = Ш(р);

б) 3&р = 3& = 0, ЗВ^*=3»(р).

Указать интегралы движения.

16.16. Показать, что для частицы в однородном поле опе-

оператор

(Fo — сила, действующая на частицу) является интегралом дви-

движения.

Какой смысл имеет среднее значение <С>?

Сравнить с результатом классической механики.

§ 3. Сохранение момента и четности в распадах

и столкновениях. Изотопические соотношения *)

16.17. Установить, какие ограничения на квантовые числа

(спин /Л и внутренняя четность РА) нейтральной частицы А0

следуют из факта существования распадов этой частицы на два

и-мезона (/? = 0~)**):

а) А°->л+л-; б) АС->2л°.

Считая, что покоящаяся распадающаяся частица находится

в состоянии с определенным значением проекции спина JZ = M

на ось г, найти угловое распределение продуктов распчда.

16.18. Для распада векторной частицы V (/р=1-) на два

п-мезона: V~*n+n~—найти наиболее общий вид углового рас-

распределения продуктов распада в системе покоя частицы V.

Состояние частицы V описывается поляризационной матри-

матрицей плотности Ртт., где т — проекция спина частицы на ось г.

16.19. Установлено, что в реакции я- +d->n-fn захват

медленного л~-мезона (его спин /я = 0) происходит из основ-

основного состояния мезодейтерия с сохранением четности.

•) Во

предполагае

изотопическ

**) Из

задачах данного парагрг

кая инвариантность предполагай1

ициесл к одному и тому же изотопическому мулы

нейтрон, я+, я?, л~ и т. д.) имеют одинаковые с

>сть Р,

Учитывая, что внутренние четности протона и нейтрона оди-

одинаковы и квантовые числа дейтрона/? = 1+> найти внутреннюю

четность ^--мезона.

16.20. Какова внутренняя четность частицы т, имеющей спин

Л —0, если возможен ее распад на три я-мезона: т-*-Зл (внут-

(внутренние четности пионов — отрицательные) ?

Может ли такая частица распадаться с сохранением четно-

четности на два пиона?

16.21. Найти угловое распределение продуктов распада не-

нестабильной частицы В со спином /Б = 1/2: B-*-jiN, если:

а) в распаде сохраняется четкость, и четность частицы В —

отрицательная;

б) в распаде сохраняется четность, и четность частицы В —

положительная;

в) распад происходит с несохранением четности.

Предполагается, что спиновое состояние распадного нуклона

не фиксируется.

16.22. Известно, что в распадах частиц A ii В вида А->2я,

В -> siN четность не сохраняется.

Можно ли результат о несохранении четности в указанных

распадах получить непосредственно из анализа угловых рас-

распределений продуктов распада? Считать распадающиеся части-

частицы поляризованными, так что среднее значение их вектора спи-

спина отлично от нуля.

16.23. Показать, что векторы поляризации у-квантов, обра-

образующихся в распаде псевдоскалярной частицы (Jp = th) на

два у-кванта (например, я°->2у), взаимно ортогональны, а в

случае распада скалярной частицы (/р = О*)—параллельны.

16.24. При столкновении пиона с покоящимся нуклоном в

реакции я + N -> я -j- В образуется нестабильная частица В,

спин которой /в> I-

Найти угловое распределение продуктов распада такой ча-

частицы B-*-nN (в ее системе покоя) в случае, когда специально

отбираются такие события реакции nN->nB, в которых импульс

частицы В направлен по или против направления импульса

налетающего пиона.

Указание. В силу условия /в;» I в рассматриваемой задаче

можно пренебречь спином нуклона (считать его равным нулю)*

16.25. Заряды (в единицах заряда протона е) различных ча-

частиц, входящих в один и тот же изотопический мультиплет,

в общем случае следующим образом выражаются через значе-

значение компоненты изоспина 7"э, соответствующее данной частице!

где Y — так называемый гиперзаряд (так, для нуклона У=1,

для пиона У = 0 и г. д.),

133

Показать, что сохранение изотопического спина автоматиче-

автоматически влечет за собой и сохранение пшерзаряда.

16.26. Найти наиболее общий вид изотопически-инвариант-

ного оператора взаимодействия пиона с нуклоном.

Как операторы этДО-взаимодействия в состояниях с опреде-

определенным значением изоспина О G" = 1/2, 3/2) связаны с най-

найденным оператором С*

Выразить оператор О через операторы 0{Т).

16.27. То же, что и в предыдущей задаче, для системы из

двух пионов.

Выразить оператор С через операторы ял-взаимодействия

в состояниях с определенным значением изоспина О (Т = 0, 1,2).

16.28. Для двухпионной системы указать изотопическую

структуру оператора кулоновского взаимодействия пионов.

16.29. То же, что и в предыдущей задаче, для кулоновского

взаимодействия в лМ-системе.

16.30. Изотопическая инвариантность предполагает, что раз-

различные частицы, относящиеся к одному и тому же изотопиче-

изотопическому мультиплету, следует рассматривать как тождественные

частицы, находящиеся в различных состояниях, отличающихся

значением 7Укомпоненты изоспииа (и соответственно заряда).

При этом квантовомеханический принцип неразличимости то-

тождественных частиц, требующий определенной симметрии вол-

волновой функции по отношению к перестановке переменных любых

двух таких частиц, должен быть распространен и на различные

частицы одного и того же изомультиплета.

Выяснить, какие при этом возникают ограничения на воз-

возможные значения суммарного изотопического спина двухпионной

системы в состояниях с определенным значением L орбиталь-

орбитального момента относительного движения.

16.31. Для системы, состоящей из двух л°-мезонов, найти

вероятности w(T) различных значений суммарного изотопиче-

изотопического спина системы Т и среднее значение Тв.

Указание. Воспользоваться результатами 3.37 и 3.39.

16.32. Найти вероятности w{T) различных значений суммар-

суммарного изотопического спина Т пион-нуклонной системы и среднее

значение Т2 в следующих изотопических состояниях:

ЭТ+р, Э1 + П, И°р, Л°П, Л~р, П~П.

Указание. Воспользоваться результатом 3.37.

16.33. Нейтральная частица 1° с изотопическим спином Т = 0

распадается на два пиона: [°—>2л. Возможные каналы распа-

распада: f°-*jr%-, Iе — 2л°.

Найти соотношение между вероятностями распада части-

частицы f° по указанным каналам.

16.34. Показать, что изоспиновая часть волновой функции си-

системы из трех пионов в состоянии с полным изотопическим спи-

спином системы 7'(Зл)'^0 имеет определенную симметрию по от-

отношению к перестановке изоспиновых переменных любых двух

пионов, и выяснить характер этой симметрии.

На основании полученного результата показать, что ней-

нейтральная частица со0 с изотопическим спином Г = 0 не может

распадаться на три л°-мезона, т. е. распад ы°-»-Зл0 запрещен.

16.35. Частица Д, имеющая изотопический спин Т = 3/2 и

зарядовые состояния Д++-, Д+, Д°, Д-, отвечающие соответствен-

соответственно значениям +3/2, +1/2, —1/2, —3/2 проекции Ts изоспина,

распадается на пион и нуклон: Д->яМ.

Указать возможные каналы распада для различных зарядо-

зарядовых состояний Д и найти соотношения между вероятностями

распадов по этим каналам.

16.36. То же, что и в предыдущей задаче, для частицы N*,

имеющей изотопический спин Г= 1/2, зарядовые состояния

N*+(J13 = 1/2), Гч*°Gз = —1/2) и распадающейся на пион и

нуклон: N*->nN.

16.37. Показать, что

где da — дифференциальные сечения соответствующих реакций,

взятые при одних и тех же относительных энергиях, углах раз-

разлета и взаимных ориентациях спинов.

16.38. Показать, что

г = 2.

где смысл da такой же, как и в предыдущей задаче.

16-39. Предполагая, что рассеяние пионов нуклонами проис-

происходит главным образом через промежуточное состояние jiN-си-

стемы с полным изотопическим спином Т = 3/2 (при этом взаи-

взаимодействие в состоянии с Т= 1/2 пренебрежимо мало), найти

при одинаковых относительных энергиях, углах разлета и ориен-

ташшх спинов соотношения между дифференциальными сече-

сечениями следующих трех реакций:

(I) п++р^я+ + р1

(II) л' + р-^ + п,

(III) л- + р-*п- + р.

16.40. Основываясь на зарядовой симметрии нуклон-нуклон-

пых и инон-нуклонных взаимодействий, найти соотношения ме-

между дифференциальными сечениями процессов